Cho đường tròn O, đường kính AB. Trên tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A lấy điểm M (M khác A). Từ M vex tiếp tuyến thứ hai MC với đường tròn (O) (C là tiếp điểm). Kẻ CH\(\perp\)AB (H thuộc AB), MB cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là K và cắt CH tại N. Chứng minh rằng:
a) tứ giác AKNH nội tiếp trong một đường tròn;
b)\(AM^2\)=MK.MB
c) KAC=OMB
d)N là trung điểm của CH
a) Ta có \(\widehat{AKB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn\(\Rightarrow\widehat{AKB}=90^0\)
Xét tứ giác AKNH có \(\widehat{AKB}+\widehat{NHA}=90^0+90^0=180^0\)
Suy ra tứ giác AKNH nội tiếp trong một đường tròn
b) Ta có △AMB vuông tại A có đường cao AK\(\Rightarrow AM^2=MK.MB\)
c) Ta có MA,MC là tiếp tuyến của đường tròn\(\Rightarrow MA=MC\) và MO là tia phân giác của \(\widehat{AMC}\)
Nên △AMC cân tại M mà MO là đường phân giác\(\Rightarrow MO\) là đường cao của tam giác hay MO⊥AC
Mà BC⊥AC
Suy ra MO//BC\(\Rightarrow\widehat{OMB}=\widehat{CBK}\)(2 góc so le trong)
Mà \(\widehat{CBK}=\widehat{KAC}\)(2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(\stackrel\frown{CK}\))
Vậy \(\widehat{KAC}=\widehat{OMB}\)
d) Kéo dài BC cắt AM tại G
Xét △ABG có OM//BG
OB=OA
Suy ra AM=MG
Xét △BAM có NH//AM( cùng ⊥AB)\(\Rightarrow\frac{NH}{AM}=\frac{BN}{BM}\Rightarrow\frac{NH}{GM}=\frac{BN}{BM}\Rightarrow NH=\frac{BN.GM}{BM}\left(1\right)\)
Xét △BGM có CN//MG\(\Rightarrow\frac{CN}{MG}=\frac{BN}{BM}\Rightarrow CN=\frac{BN.GM}{BM}\left(2\right)\)
Từ (1),(2)\(\Rightarrow NH=CN\) hay N là trung điểm của CH
cái này mà gọi là vật lí hả. Biết phân biệt toán với lí không rứa
