Lời giải

Trong một tam giác, độ dài một cạnh lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng của hai cạnh còn lại. Vậy nên với năm đoạn thẳng có độ dài 1cm, 2cm, 3cm, 4cm, 5cm chỉ dựng được tam giác với ba cạnh là các đoạn thẳng có độ dài là các bộ ba 2cm, 3cm, 4cm, bộ ba 3cm, 4cm, 5cm, bộ ba 2cm, 4cm, 5cm.

Gọi O là một điểm tùy ý (nơi phải đặt nhà máy) A, B, C, D lần lượt là bốn điểm dân cư.

Tổng khoảng cách từ nhà máy đến 4 khu dân cư là: OA + OB + OC + OD

Ta có:

Vậy khi O là giao điểm của AC và BD thì tổng khoảng cách từ nhà máy này đến các khu dân cư là ngắn nhất.

=(x²-xy)-(5x-5y)

=x(x-y)-5(x-y)

=(x-y)(x-5)

a) ∆DEI = ∆DFI có:

DI là cạnh chung

DE = DF ( ∆DEF cân)

IE = IF (DI là trung tuyến)

=> ∆DEI = ∆DFI (c.c.c)

b) Vì ∆DEI = ∆DFI =>

mà = 180⁰ ( kề bù)

nên = 90⁰

c) I là trung điểm của EF nên IE = IF = 5cm

∆DEI vuông tại I => DI² = DE² – EI² (định lí pytago)

=> DI² = 13² – 5² = 144

=> DI = 12

a) Vì Q là trọng tâm của ∆MNP nên điểm Q thuộc đường trung tuyến MR và .

Vì hai tam giác ∆MPQ và ∆RPQ có chung đường cao kẻ từ P nên :

(1)

b) Chứng minh tương tự như câu (a) ta có :

c) Hai tam giác ∆PQR và ∆QNR có chung đường cao kẻ từ Q và PR = RN nên S_∆PQR = S_∆QNR

Vì S_∆PQR + S_∆QNR = S_∆PQN

Nên S_∆PQN = 2.S_∆PQR = 2.S_∆QNR (3)

Từ (1), (2), (3) => S_∆QMN = S_∆QNP = S_∆QPM

a) Vì M cách đều hai cạnh Ox, Oy của nên M phải thuộc tia phân giác .

Vì M cách đều hai điểm A và B nên M thuộc đường trung trực của AB. Vậy M là giao điểm của tia phân giác và đường trung trực của đoạn thẳng AB.

b) Nếu OA = OB thì ∆AOB cân tại O nên tia phân giác cũng là trung trực của AB nên mọi điểm trên tia phân giác sẽ cách đều hai cạnh Ox, Oy và cách đều hai điểm A và B.

Vậy khi OA = OB thì mọi điểm trên tia phân giác đều thỏa mãn các điều kiện ở câu a.

(a) và (b) không song song nên (a) cắt (b), gọi giao điểm là O. Tam giác OSQ có PQ và RS là hai đường cao gặp nhau tại M nên M là trực tâm của tam giác nên đường thẳng vẽ từ M và vuông góc với SQ là đường cao thứ ba của tam giác tức là đường vuông góc với SQ vẽ từ M cũng đi qua giao điểm của a và b

Hướng dẫn làm bài:

a) Vì M nằm trên d, d là trung trực của AB nên MA = MB (1)

Vì nên đoạn thẳng NB cắt d tại M suy ra M nằm giữa N và B.

Hay NM + MB = NB (2)

Từ (1) và (2) => NB = MA + NM

b) Gọi AN’ cắt d tại I

Trong tam giác N’IB có : N’B < IN’ + IB

Mà IA = IB (I thuộc trung trực của AB)

=> N’B < IN’ + NA => N’B < AN’

c) Vì LA < LB nên L không thuộc d, theo chứng minh câu b suy ra L thuộc P_A.

a)

b) ;

c)

d)