Lời giải:

Xét tam giác ABC với AH là đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực nên

AH ⊥ BC và HB = HC

Xét hai tam giác vuông HAB và HAC có:

HB = HC

= 90⁰

AH: cạnh chung

Nên ∆HAB = ∆HAC => AB = AC

Vậy ∆ABC cân tại A

Đường tròn đi qua ba dỉnh của tam giác gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Đẻ vẽ đường tròn ngoại tiếp ta cần xác định tâm của đường tròn đó. Muốn xác định tâm ta vẽ hai đường trung trực và giao điểm hai đường trung trực ( cũng là giao điểm của ba trung trực cần tìm)

Nhận xét:

- Nếu tam giác có ba góc đều nhọn thì tâm đường tròn ngoại tiếp nằm trong tam giác.

- Nếu tam giác có góc vuông thì tâm đường tròn nằm trên cạnh huyền ( tâm là trung điểm của cạnh huyền)

- Nếu tam giác có góc tù thì tâm đường tròn ngoại tiếp nằm ngoài tam giác

Từ hình vẽ ta có:

DK là trung trực của Ac, DI là đường trung trực của AB. Do đó ∆ADK = ∆CDK (c.c.c)

=>

hay DK là phân giác

=> =

∆ADI = ∆BDI (c.c.c)

=>

=> DI là phân giác

=> =

Vì AC // DI ( cùng vuông góc với AB) mà DK ⊥ AC

=> DK ⊥ DI

hay + = 90⁰

Do đó + = 90⁰

=> + = 180⁰

a) Giả sử ∆ABC vuông góc tại A. Vẽ hai đường trung trực của hai cạnh góc vuông AB, AC cắt nhau tại M. Ta chứng minh M là trung điểm của BC.

Vì M là giao điểm hai đường trung trực d₁, d₂

của AB, AC mà AB ⊥ AC nên B, M, C thẳng hàng (bài tập 55)

Vì MA = MB (M thuộc đường trung trực của AB)

MA = MC (M thuộc đường trung trực của AC)

=> MB = MC

Do B, M, C thẳng hàng và M cách đều BC nên M là trung điểm của BC

b) M là trung điểm Bc => MB = BC

mà AM = MB nên MA = BC

Vậy độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc vuông bằng một nửa độ dài cạnh huyền

Gọi a, b, c là tiền lãi của mỗi đơn vị.

Vì tiền lãi được chia tỉ lệ với vốn đầu tư nên a, b, c tỉ lệ với 2, 5 và 7 do đó:

và a +b +c = 560

Suy ra: a = 2.40 = 80

b = 5.40 =200

c = 7.40 = 280

Vậy số tiền lãi của mỗi đơn vị lần lượt là 80 triệu, 200 triệu, 280 triệu.

a) Từ hình vẽ ta có: LP ⊥ MN; MQ ⊥ LN

ΔMNL có S là giao điểm của hai đường cao LP và MQ nên S chính là trực tâm của tam giác (định lí ba đường cao).

=> NS cũng là đường cao trong tam giác hay NS ⊥ LM (đpcm).

b) ΔNMQ vuông tại Q có góc LNP = 50^o nên góc QMN = 40^o

ΔMPS vuông tại P có góc QMP = 40^o nên góc MSP = 50^o

Vì hai góc MSP và PSQ là hai góc kề bù nên suy ra:

góc PSQ = 180^o - 50^o = 130^o.

Nối M với I ta được ΔMIK.

Trong ΔMIK có: MJ ⊥ IK (do l ⊥ d) và IN ⊥ MK

Do đó N là trực tâm của ΔMIK.

Suy ra KN là đường cao thứ ba của ΔMIK hay NK ⊥ IM (đpcm).

Các đường thẳng HA, HB, HC lần lượt cắt cạnh đối BC, Ac, AB tại N, M, E.

a) ΔHBC có :

HN ⊥ BC nên HN là đường cao

BE ⊥ HC nên BE là đường cao

CM ⊥ BH nên CM là đường cao

Vậy A là trực tâm của ΔHBC.

b) Tương tự, trực tâm của ΔAHB là C; ΔAHC là B.