+) \(S⋮31\)

Tổng S có : (2010-1):1+1=2010 số hạng

\(S=2+2^2+2^3+...+2^{2010}\)

\(S=\left(2+2^2+2^3+2^4+2^5\right)+\left(2^6+2^7+2^8+2^9+2^{10}\right)+...+\left(2^{2006}+2^{2007}+2^{2008}+2^{2009}+2^{2010}\right)\)

(Có 2010:5=402 nhóm)

\(S=2.\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)+2^6.\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)+...+2^{2006}.\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)\)

\(S=\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right).\left(2+2^6+...+2^{2006}\right)\)

\(S=31.\left(2+2^6+...+2^{2006}\right)⋮31\)

Vậy \(S⋮31\)

+) \(S⋮7\)

Tổng S có : ( 2010-1):1+1=2010 ( số hạng )

\(S=2+2^2+2^3+...+2^{2010}\)

\(S=\left(2+2^2+2^3\right)+\left(2^4+2^5+2^6\right)+...+\left(2^{2008}+2^{2009}+2^{2010}\right)\) Có 2010:3=670 (nhóm)

\(S=2.\left(1+2+2^2\right)+2^4.\left(1+2+2^2\right)+...+2^{2008}.\left(1+2+2^2\right)\)

\(S=\left(1+2+2^2\right).\left(2+2^4+...+2^{2008}\right)\)

\(S=7.\left(2+2^4+...+2^{2008}\right)⋮7\)

Vậy \(S⋮7\)

ear-read-draw-winter-rice-...

Xin lỗi mình sửa lại

Đặt \(A=\dfrac{3}{2.5}+\dfrac{3}{5.8}+\dfrac{3}{8.11}+\dfrac{3}{11.14}\)

\(A=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{11}+\dfrac{1}{11}-\dfrac{1}{14}\)

\(A=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{14}\)

\(A=\dfrac{7}{14}-\dfrac{1}{14}\)

\(A=\dfrac{6}{14}=\dfrac{3}{7}\)

Đặt \(A=\dfrac{3}{2.5}+\dfrac{3}{5.8}+\dfrac{3}{8.11}+\dfrac{3}{11.14}\)

\(A=\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{5}+\dfrac{3}{5}-\dfrac{3}{8}+\dfrac{3}{8}-\dfrac{3}{11}+\dfrac{3}{11}-\dfrac{3}{14}\)

\(A=\dfrac{3}{2}-\dfrac{3}{14}\)

\(A=\dfrac{21}{14}-\dfrac{3}{14}\)

\(A=\dfrac{18}{14}\)

\(A=\dfrac{9}{7}\)

\(A=1\dfrac{2}{7}\)

Gọi số tự nhiên cần tìm là n ( n \(\in\) N ; n \(\le\) 999 )

Theo bài ra , ta có :

n:8 dư 7 => n+1 \(⋮\) 8

n:13 dư 8 => n+5 \(⋮\) 13

Ta thấy : ( n+1 ) + 56 \(⋮\) 8 = ( n+5 ) +52 \(⋮\) 13

=> n+57 \(⋮\) 13 và 8

Mà ( 8;13 ) =1

=> n+57 \(⋮\) 104

Vì n \(\le\) 999 => n+57 \(\le\) 1056

Để n là số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện thì cũng phải là số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn điều \(\dfrac{n+57}{104}=2\)

=> n=151

Vậy số cần tìm là 151

Gọi số cần tìm là a ( \(a\in N\) ; \(a\le999\) )

Theo bài ra , ta có :

a : 8 dư 7 => ( a+1 ) \(⋮\) 8

a : 31 dư 28 => ( a+ 3 ) \(⋮\) 28

Ta thấy ( a+1 ) + 64 \(⋮\) 8 = ( a+3 ) +62 \(⋮\) 31

=> a+65 \(⋮\) 8 và 31

Mà ( 8;31 ) =1

=> a+65 \(⋮\) 248

Vì a \(\le\) 999 => a+65 \(\le\) 1064

Để a là số tự nhiên lớn nhất thỏa mãn điều kiện thì cũng phải là số tự nhiên lớn nhất thỏa mãn \(\dfrac{a+65}{248}=4\)

=> a=927

Vậy số cần tìm là 927