a)Ta có: \(\left(\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{2x}{x^2-4}+\dfrac{1}{x+2}\right)\left(\dfrac{2}{x}-1\right)\)

\(=\left(\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{2x}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}+\dfrac{1}{x+2}\right)\left(\dfrac{2-x}{x}\right)\)

\(=\left(\dfrac{-\left(x-2\right)}{x\left(x-2\right)}+\dfrac{-2x\left(x-2\right)}{x\left(x-2\right)\left(x+2\right)}+\dfrac{2-x}{x\left(x+2\right)}\right)\)

\(=\left(-\dfrac{1}{x}+\dfrac{-2}{x+2}+\dfrac{2-x}{x\left(x+2\right)}\right)\)

\(=\left(\dfrac{-x-2-2x+2-x}{x\left(x+2\right)}\right)=\dfrac{-4}{x+2}\)

b) Ta có ĐKXĐ của A là \(x\ne\pm2\)

Lại có \(A=-\dfrac{4}{x+2}=1\)

\(\Rightarrow-4=x+2\Rightarrow x=-6\)

Vậy x=-6 thì A=1

Đầu tiên dùng 2 sợi lạt cắt theo 2 đường chéo của hình vuông ta được 4 phần bằng nhau. Tiếp theo dùng sợi lạt thứ 3 cắt ngang cạnh bên hông của hình vuông chia basnh chưng ra phần trên và phần dưới ta sẽ được 8 phần bánh chưng hình tam giác bằng nhau gồm 4 phần mặt trên và 4 phần mặt dưới.

Ta có : \(xy\ge4\) (1)

\(\Rightarrow x+y\ge2\sqrt{xy}\ge2\sqrt{4}\ge4\) (áp dụng BĐT cô si) (2)

Từ (1),(2)\(\Rightarrow x+y+xy+1\ge4+4+1\ge9\)(3)

Áp dụng BĐT cô si ta có:

\(A=\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{y+1}\ge2\dfrac{1}{\sqrt{\left(1+x\right)\left(1+y\right)}}\ge2\cdot\dfrac{1}{x+y+xy+1}\)

\(\Leftrightarrow A\ge2\cdot\dfrac{1}{\sqrt{9}}\ge\dfrac{2}{3}\)(theo 3)

Vây min A=\(\dfrac{2}{3}\) . Dấu bằng xảy ra khi x=y=2

e) Theo BĐT cauchy ta có: \(\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge ab\Rightarrow\dfrac{a^2+b^2}{ab}\ge2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\Leftrightarrow\left(\dfrac{a}{b}+1\right)+\left(\dfrac{b}{a}+1\right)\ge4\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{b}+\dfrac{a+b}{a}\ge4\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{a}\right)\ge4\) (đpcm)

Vậy..........

Ta có: 1h 12 phút=1.2 h

Gọi x(km/h) là vận tốc của xe khởi hành từ A (x>5)

Vận tốc của xe khởi hành từ B là : x-5 (km/h)

Quãng đường xe khởi hành từ A đi để gặp B là: \(1.2x\) (km)

Quãng đường xe khởi hành từ B đi để gặp A là: \(1.2\left(x-5\right)\) (km)

Vì quãng đường AB dài 102 km nên ta có phương trình:

\(1.2x+1.2\left(x-5\right)=102\)

\(\Leftrightarrow1.2\left(2x-5\right)=102\)

\(\Leftrightarrow2x=\dfrac{102}{1.2}+5=90\Rightarrow x=45\) (km/h)

Vậy vận tốc vận tốc của xe khởi hành từ A là:45 km/h

Vận tốc vận tốc của xe khởi hành từ B là: x-5=45-5=40 km/h

Vì a và b không âm và \(\left(a-b\right)^2\ge0\) nên ta có :

\(\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^3-a\cdot b^2-b\cdot a^2+b^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3\ge a\cdot b^2+b\cdot a^2\) (đpcm)

Áp dụng bất đẳng thức cauchy ta có:

\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4\sqrt[4]{a^4\cdot b^4\cdot c^4\cdot d^4}=4abcd\)

Vậy \(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4abcd\)