Với hai ánh xạ \(f:A\rightarrow C\) và \(g:B\rightarrow C\) hãy cho biết khi nào f và g cùng là thu hẹp của cùng một ánh xạ?

Chứng minh rằng với mọi a, b, c > 0 ta có: \(\frac{a^4}{1+a^2b}+\frac{b^4}{1+b^2c}+\frac{c^4}{1+c^2a}\ge\frac{abc\left(a+b+c\right)}{1+abc}\)

Xét \(y=\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x+2}+\sqrt[3]{x+3}\), y liên tục và có đạo hàm \(y'=\dfrac{1}{3\sqrt[3]{\left(x+1\right)^2}}+\dfrac{1}{3\sqrt[3]{\left(x+2\right)^2}}+\dfrac{1}{3\sqrt[3]{\left(x+3\right)^2}}>0\) trên \(R\backslash\left\{-1;-2;-3\right\}\)\(\Rightarrow y\) đồng biến trên ... Mà \(y\left(-2\right)=0\Rightarrow x=-2\) là nghiệm duy nhất của pt

\(M\left(0;y\right)\)

Gọi I là trung điểm của AB, K là trung điểm của IB\(\Rightarrow I\left(\dfrac{13}{2};\dfrac{7}{2}\right),K\left(\dfrac{19}{4};\dfrac{11}{4}\right)\)

\(Q=\left|\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}\right|=\left|2\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{MB}\right|=4MK\)

Q nhỏ nhất khi MK ngắn nhất hay M là hình chiếu của K trên Oy, tức là \(y_M=y_K=\dfrac{11}{4}\)

\(E\left(x;0\right)\)

\(EB^2=\left(3-x\right)^2+4,EC^2=\left(6-x\right)^2+25\)

tam giác EBC cân tại E\(\Rightarrow EB^2=EC^2\Leftrightarrow\left(3-x\right)^2+4=\left(6-x\right)^2+25\Leftrightarrow x=8\)

\(\overrightarrow{BC}=\left(3;-7\right),\overrightarrow{BA}=\left(7;3\right)\Rightarrow\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}=\dfrac{3.7-7.3}{BA.BC}=0\Rightarrow\)tam giác ABC vuông tại B

b)\(\overrightarrow{AF}=\left(-15;3\right)\\\overrightarrow{AB}=\left(-7;-3\right) \\ \overrightarrow{AC}=\left(-4;-10\right)\\\overrightarrow{AF}=a\overrightarrow{AB}+bAC\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-7a-4b=-15\\-3a-10b=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{81}{29}\\b=-\dfrac{33}{29}\end{matrix}\right.\)

a) Gọi \(D\left(x;y\right)\)

\(2\overrightarrow{DA}=\left(20-2x;10-2y\right)\\ 3\overrightarrow{DB}=\left(9-3x;6-3y\right)\\ -\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CD}=\left(x-6;y+5\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}20-2x+9-3x+x-6=0\\10-2y+6-3y+y+5=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{23}{4}\\y=\dfrac{21}{4}\end{matrix}\right.\)

\(S=\overrightarrow{GA}.\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GB}.\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GC}.\overrightarrow{GA}\)

\(0=\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)^2=GA^2+GB^2+GC^2+2S\Rightarrow S=-\dfrac{GA^2+GB^2+GC^2}{2}\)

\(GA^2+GB^2+GC^2=\dfrac{4}{9}\left(m_a^2+m_b^2+m_c^2\right)\\ =\dfrac{4}{9}\left(\dfrac{2AB^2+2AC^2-BC^2+2BC^2+2AC^2-AB^2+2AB^2+2BC^2-AC^2}{4}\right)\\ =\dfrac{AB^2+AC^2+BC^2}{3}=\dfrac{29}{3}\)

\(\Rightarrow S=-\dfrac{29}{6}\)

Dat \(t=\sqrt{x^2+4x+5}\left(t\ge1\right)\)\(\Rightarrow Pt\Leftrightarrow t^2+t+m-2=0\)

DK:\(\Delta=1-4\left(m-2\right)=9-4m\ge0\Leftrightarrow m\le\dfrac{9}{4}\)

Pt co nghiem la \(t=\dfrac{-1-\sqrt{\Delta}}{2}\left(loai\right),t=\dfrac{-1+\sqrt{\Delta}}{2}\)

Vi \(t\ge1\)\(\Rightarrow\sqrt{\Delta}\ge3\Leftrightarrow9-4m\ge9\Leftrightarrow m\le0\)

\(5\ge\left|x\right|=\left|\sqrt{\dfrac{-1+\sqrt{9-4m}}{2}}\right|=\sqrt{\dfrac{-1+\sqrt{9-4m}}{2}}\Leftrightarrow\sqrt{9-4m}\le51\Leftrightarrow m\ge-648\)Vay \(-648\le m\le0\)