2, a, Ta có:

\(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\) (1)

\(\left(a-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2-2a+1\ge0\Leftrightarrow a^2+1\ge2a\) (2)

\(\left(b-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow b^2-2b+1\ge0\Leftrightarrow b^2+1\ge2b\) (3)

từ (1), (2) và (3) suy ra;

\(a^2+b^2+a^2+1+b^2+1\ge2ab+2a+2b\)

<=> \(2a^2+2b^2+2\ge2ab+2a+2b\)

<=> \(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\) \(\xrightarrow[]{}\) đpcm

b, Ta xét;

\(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2-ab-ac-ad-ae\)

\(=\left(\dfrac{a^2}{4}-ab+b^2\right)+\left(\dfrac{a^2}{4}-ac+c^2\right)+\left(\dfrac{a^2}{4}-ad+d^2\right)+\left(\dfrac{a^2}{4}-ae+e^2\right)\)

\(=\left(\dfrac{a}{2}-b\right)^2+\left(\dfrac{a}{2}-c\right)^2+\left(\dfrac{a}{2}-d\right)^2+\left(\dfrac{a}{2}-e\right)^2\)

mà \(\left\{{}\begin{matrix}\left(\dfrac{a}{2}-b\right)^2\ge0\\\left(\dfrac{a}{2}-c\right)^2\ge0\\\left(\dfrac{a}{2}-d\right)^2\ge0\\\left(\dfrac{a}{2}-e\right)^2\ge0\end{matrix}\right.\) => \(\left(\dfrac{a}{2}-b\right)^2+\left(\dfrac{a}{2}-c\right)^2+\left(\dfrac{a}{2}-d\right)^2+\left(\dfrac{a}{2}-e\right)^2\ge0\)

=> \(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2-ab-ac-ad-ae\ge0\)

<=> \(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\ge ab+ac+ad+ae\)

<=> \(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\ge a\left(b+c+d+e\right)\) \(\xrightarrow[]{}\) đpcm

5. a, Ta có: \(\left(x-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow x^2-2x+1\ge0\Leftrightarrow x^2+1\ge2x\) ⁽¹⁾

\(\left(y-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow y^2-2y+1\ge0\Leftrightarrow y^2+1\ge2y\) ⁽²⁾

\(\left(z-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow z^2-2z+1\ge0\Leftrightarrow z^2+1\ge2z\) ⁽³⁾

Từ (1),(2) và (3) suy ra:

\(x^2+1+y^2+1+z^2+1\ge2x+2y+2z\)

<=> \(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)

mà x+y+z=3

=>\(x^2+y^2+z^2+3\ge2.3=6\)

<=> \(x^2+y^2+z^2\ge6-3=3\)

<=> \(A\ge3\)

Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1

Vậy GTNN của A=x²+y²+z² là 3 khi x=y=z=1

b, Ta có: x+y+z=3

=> \(\left(x+y+z\right)^2=9\)

<=> \(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz=9\)

<=> \(x^2+y^2+z^2=9-2xy-2yz-2xz\)

mà \(x^2+y^2+z^2\ge3\) (theo a)

=> \(9-2xy-2yz-2xz\ge3\)

<=> \(-2\left(xy+yz+xz\right)\ge3-9=-6\)

<=> \(xy+yz+xz\le\dfrac{-6}{-2}=3\)

<=> \(B\le3\)

Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1

Vậy GTLN của B=xy+yz+xz là 3 khi x=y=z=1

(x-5).(x-7)=0

=> x-5=0  hoặc   x-7=0

=> x= 5 hoặc x=7 

Vậy x=5 ; 7

ĐKXĐ: x\(\ne-1\), x\(\ne\dfrac{-1}{3}\)

\(\dfrac{x}{x+1}-\dfrac{x-1}{3x+1}=\dfrac{1}{2}\)

<=> \(\dfrac{\left(3x+1\right).2x}{\left(x+1\right)\left(3x+1\right).2}-\dfrac{\left(x-1\right)\left(x+1\right).2}{\left(x+1\right)\left(3x+1\right).2}=\dfrac{\left(x+1\right)\left(3x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(3x+1\right).2}\)

=> 6x²+2x-2x²+2=3x²+x+3x+1

<=> 6x²+2x-2x²+2-3x²-x-3x-1=0

<=> x²-2x+1=0

<=> (x-1)²=0

<=> x-1=0

<=> x=1 (thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy S=\(\left\{1\right\}\)

Vì abc+bc+c=149

=> c+c+c=9

vậy c=9:3

c=3

Ta có: ab3+b3+3=149

ab3+b3=146

Vì ab3+b3=146

=> b+b=4

Vậy b=4:2=2

Ta có: a23+23=146

a23=146-23

a23=123

=> a=1

vậy abc=123

c. Ta có: m<n

<=> -6m>-6n (nhân cả hai vế với -6)

<=> 3-6m>3-6n (cộng cả hai vế với 3) \(\xrightarrow[]{}\) đpcm

d. Ta có: m<n

<=> 4m<4n (nhân cả hai vế với 4)

<=> 4m+1<4n+1 (cộng cả hai vế với 1)

mà 4n+1<4n+5

=> 4m+1<4n+5 \(\xrightarrow[]{}đpcm\)

a. Ta có: m<n

<=> 2m<2n (nhân cả hai vế với 2)

<=> 2m+1<2n+1 (cộng cả hai vế với 1) \(\xrightarrow[]{}\) đpcm

b. Ta có: m<n

<=> m-2<n-2 (cộng cả hai vế với -2)

<=> 4(m-2)<4(n-2) (nhân cả hai vế với 4) \(\xrightarrow[]{}\) đpcm

Ta có: \(A=a^2+\dfrac{1}{a^2}=\dfrac{3a^2}{4}+\dfrac{a^2}{4}+\dfrac{1}{a^2}=\dfrac{3a^2}{4}+\left(\dfrac{a^2}{4}+\dfrac{1}{a^2}\right)\)

Do \(a^2\ge2\) => \(\dfrac{3a^2}{4}\ge\dfrac{3}{4}.2=\dfrac{3}{2}\) (*)

Áp dụng BĐT cô-si :

\(\dfrac{a^2}{4}+\dfrac{1}{a^2}\ge2\sqrt{\dfrac{a^2}{4}.\dfrac{1}{a^2}}=2.\dfrac{1}{2}=1\) (**)

Từ (*) và (**) suy ra :

\(\dfrac{3a^2}{4}+\left(\dfrac{a^2}{4}+\dfrac{1}{a^2}\right)\ge\dfrac{3}{2}+1=\dfrac{5}{2}\)

<=> \(A\ge\dfrac{5}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a^2=2\) <=> \(a=\pm\sqrt{2}\)

Vậy GTNN của \(A=a^2+\dfrac{1}{a^2}\) là \(\dfrac{5}{2}\) khi \(a=\pm\sqrt{2}\)

\(A=x^2-7x+11=x^2-2.\dfrac{7}{2}.x+\dfrac{49}{4}-\dfrac{5}{4}\)

=\(\left(x-\dfrac{7}{2}\right)^2-\dfrac{5}{4}\)

mà \(\left(x-\dfrac{7}{2}\right)^2\ge0\) với mọi x

=> \(\left(x-\dfrac{7}{2}\right)^2-\dfrac{5}{4}\ge-\dfrac{5}{4}\) với mọi x

<=> \(A\ge-\dfrac{5}{4}\)

dấu "=" xảy ra khi x=\(\dfrac{7}{2}\)

=> GTNN của \(A=x^2-7x+11\) là \(\dfrac{-5}{4}\) tại x=\(\dfrac{7}{2}\)

c. |x²-x|= -2x

Ta có: |x²-x|=x²-x khi x²-x\(\ge0\) hay x\(\ge1\)

=> x²-x= -2x

<=> x²-x+2x=0

<=> x²+x=0

<=> x(x+1)=0

<=> \(\left[{}\begin{matrix}x=0\\x+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-1\end{matrix}\right.\) (không thỏa mãn điều kiện x\(\ge1\))

Lại có: |x²-x|= x-x² khi x²-x<0 hay x<1

=> x-x²= -2x

<=> x-x²+2x=0

<=> 3x-x²=0

<=> x(3-x)=0

x=0 (thỏa mãn điều kiện x<1)

hoặc: 3-x=0<=> x=3 (không thỏa mãn điều kiện x<1)

Vậy S=\(\left\{0\right\}\)

d. \(\dfrac{x+3}{x-3}+\dfrac{48x^3}{9-x^2}=\dfrac{x-3}{x+3}\)

ĐKXĐ: \(x\ne\pm3\)

Ta có:\(\dfrac{x+3}{x-3}+\dfrac{48x^3}{9-x^2}=\dfrac{x-3}{x+3}\)

<=> \(\dfrac{\left(x+3\right)^2}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}-\dfrac{48x^3}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}=\dfrac{\left(x-3\right)^2}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\)

=> x²+6x+9-48x³=x²-6x+9

<=> 12x-48x³=0

<=> 12x(1-4x²)=0

<=> 12x(1-2x)(1+2x)=0

<=> \(\left[{}\begin{matrix}x=0\\1-2x=0\\1+2x=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=0,5\\x=-0,5\end{matrix}\right.\) (thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy S=\(\left\{0;\pm0,5\right\}\)