\((ac+bd).(bc+ad)=0\)

\(\Leftrightarrow abc^2+a^2cd+b^2cd+abd^2=0\)

\(\Leftrightarrow ab.\left(c^2+d^2\right)+cd.\left(a^2+b^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow ab+cd=0\left(đpcm\right)\)

Gọi số tiền mua mét vải loại I là \(x\). \((\)Đk \( x > 0 )\)

\(\Rightarrow\) Giá tiền mua vải loại II là \(0,9x.\)

Gọi số tiền mua mét vải loại II là \(y,\) ta có.

\(135.x=0,9xy\)

\(\Rightarrow y=\dfrac{135x}{0,9x}=150\left(m\right)\)

Vậy với số tiền mua 135 mét vải loại I có thể mua được 150m vải loại II.

Đổi: \(1h30ph=1,5h\)

Sau 1,5h, xe đò đi được:

\(S_1=V_1.t_1=60.1,5=90\left(km\right)\)

Quãng đường còn lại để xe đò tới B là:

\(S_2=S-S_1=180-90=90\left(km\right)\)

Gọi \(t\left(h\right)\) là thời gian của 2 xe cùng khởi hành lúc \(8h30\) cho đến khi gặp nhau.

Quãng đường của xe đò đến chỗ gặp nhau là:

\(S'=t.V_1=t.60\left(km\right)\)

Quãng đường của xe ô tô đến chỗ gặp nhau là:

\(S"=t.V_2=t.80\left(km\right)\)

Quãng đường của 2 xe đi được là:

\(S_1+S'+S"=S\)

Thời gian 2 xe gặp nhau là:

\(90+60.t+80.t=160\)

\(\Leftrightarrow t=90+t.\left(60+80\right)=160\)

\(\Leftrightarrow t=90+t.140=160\)

\(\Leftrightarrow t=0,5\)

Vậy 2 xe gặp nhau lúc 9h.

Vị trí gặp nhau cách A là:

\(S_A=t.V_1+90=0,5.60+90=30+90=120\left(km\right)\)

b) Thời gian xe đò đến B là:

\(\dfrac{\left(180-80-40\right)}{40}=1,5\left(h\right)\)

Thời gian xe ô tô đến A là:

\(\dfrac{\left(180-60\right)}{60}=2\left(h\right)\)

Vậy xe đò đến đích trước.

Để đến cùng lúc với xe đò thì xe ô tô phải đi với vận tốc:

\(\dfrac{\left(180-60\right)}{1,5}=80\left(km\right)\)

Nhận xét:

\(n^2+\left(n+5\right)^2\)

\(=2n^2+10n+25\)

\(=A+12\)

\(\left(n+1\right)^2+\left(n+4\right)^2\)

\(=2n^2+10n+17\)

\(=A+4\)

\(\left(n+1\right)^2+\left(n+3\right)^2\)

\(=2n^2+10n+13\)

\(=A\)

Lần 1: Chia 6 quả cân \(1^2,2^2,..,6^2\) thành 3 phần \(A+12;A+4;A\)

Lần 2: Chia 6 quả cân \(7^2,8^2,..,12^2\) thành 3 phần \(B;B+12;B+4\)

Lần 3: Chia 6 quả cân \(13^2,14^2,..,18^2\)thành 3 phần \(C+4;C;C+12\)

Nhóm thứ 1 gồm:

\(A+12;B;C+4\)

Nhóm thứ 2 gồm:

\(A+4;B+12;C\)

Nhóm thứ 3 gồm:

\(A;B+4;C+12\)

Khối lượng mỗi nhóm đều bằng:

\( A+B+C+16\)

Gọi 2 số cần tìm là a và b ( a,b # 0 )

Theo đề bài ta có:

\(a=\dfrac{4}{3}.b\)

Mà \(a=\dfrac{10}{9}.\left(b+60\right)\)

\(\Rightarrow a=\dfrac{10}{9}.b+\dfrac{200}{3}\)

\(\Rightarrow\dfrac{4}{3}.b=\dfrac{10}{9}.b+\dfrac{200}{3}\)

\(\Rightarrow\dfrac{2}{9}.b=\dfrac{200}{3}\)

\(\Rightarrow b=300\)

\(\Rightarrow a=300.\dfrac{4}{3}=400\)

Vậy 2 số cần tìm lần lượt là \(400\) và \(300.\)

Ta có: \(\dfrac{x-y}{1}=\dfrac{x+y}{7}=\dfrac{\left(x-y\right)+\left(x+y\right)}{1+7}=\dfrac{2x}{8}=\dfrac{x}{4}\)

\(\dfrac{x}{y}=\dfrac{xy}{24}\Leftrightarrow\dfrac{6x}{24}=\dfrac{xy}{24}\)

\(\Rightarrow6x=xy\)

\(\Rightarrow y=6\)

\(\dfrac{x-6}{1}=\dfrac{x+6}{7}\)

\(\Leftrightarrow7.\left(x-6\right)=x+6\)

\(\Leftrightarrow7x-42=x+6\)

\(\Leftrightarrow7x-x=6+42\)

\(\Leftrightarrow6x=48\)

\(\Rightarrow x=8\)

Vậy \(x=8;y=6.\)