Giải phương trình:

\(\sqrt{1+\dfrac{1}{x+1}}+\sqrt{\dfrac{1}{x+1}}=\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\)

☠ Link hình: 22AUBrW

☠ Giải:

Câu a)

Theo gt: (O) có 2 tiếp tuyến MC và MD cắt nhau tại M

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}OC=OD\\MC=MD\end{matrix}\right.\)

⇒ OM là đường trung trực của CD

⇒ BM ⊥ CD tại H là trung điểm của CD

mà F là trung điểm của CE (gt)

⇒ HF là đường trung bình của Δ CED

⇒ HF // BD

\(\Rightarrow\widehat{GFH}=\widehat{GBD}\) (2 góc đồng vị)

mà \(\widehat{GBD}=\widehat{DCG}\left(\text{cùng chắn }\stackrel\frown{DG}\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{GFH}=\widehat{DCG}\)

⇒ Tứ giác CGHF nội tiếp

Câu b)

Ta có: FH // BD và CE ⊥ BD

⇒ FH ⊥ CE hay \(\widehat{CFH}=90^0\)

mà \(\widehat{CFH}+\widehat{CGH}=180^0\) (tứ giác CGHF nội tiếp)

\(\Rightarrow\widehat{CGH}=90^0\) hay \(\widehat{GCH}+\widehat{GHC}=90^0\)

mà \(\widehat{GHM}+\widehat{GHC}=90^0\)

\(\Rightarrow\widehat{GCH}=\widehat{GHM}\)

mà \(\widehat{GCD}=\widehat{GDM}\)

\(\Rightarrow\widehat{GDM}=\widehat{GHM}\)

⇒ Tứ giác MGHD nội tiếp

Câu c)

Vì tứ giác MGHD nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{GMH}=\widehat{GDH}\)

mà \(\widehat{GDH}=\widehat{GCM}\left(\text{cùng chắn }\stackrel\frown{CG}\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{GMH}=\widehat{GCM}\)

⇒ BM tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp .
(theo định lí đảo của định lí về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)

Câu d)

ΔSMG ∼ ΔSCM (g.g.) (do có \(\widehat{MSG}\) chung và \(\widehat{GMH}=\widehat{GCM}\))

⇒ SM² = SC . SG (1)

ΔSGH ∼ ΔSHC (g.g.) (do có \(\widehat{SGH}=\widehat{SHC}=90^0\) và \(\widehat{GCH}=\widehat{GHM}\))

⇒ SH² = SG . SC (2)

Từ (1) và (2) ⇒ SM = SH

⇒ S là trung điểm của MH.

- end -

Đặt \(\sqrt{2x^2+5x+12}=a\text{ và }\sqrt{2x^2+3x+2}=b\left(a\text{ và }b\ge0\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=x+5\left(\text{✳}\right)\\a^2-b^2=2\left(x+5\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)=2\left(a+b\right)\)

\(\Rightarrow a=b+2\text{. Thay vào }\left(\text{✳}\right)\)

\(\Rightarrow\left(b+2\right)+b=x+5\)

\(\Leftrightarrow b=\dfrac{x+3}{2}\)

\(\Rightarrow2\sqrt{2x^2+3x+2}=x+3\)

\(\Leftrightarrow8x^2+12x+8=x^2+6x+9\)

\(\Leftrightarrow\left(7x-1\right)\left(x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{7}\\x=-1\end{matrix}\right.\)

☠ Bạn tự kết luận nha >..<"

Theo giả thiết \(\sqrt{\dfrac{yz}{x}}+\sqrt{\dfrac{xz}{y}}+\sqrt{\dfrac{xy}{z}}=3\)

\(\Rightarrow\dfrac{yz}{x}+\dfrac{xz}{y}+\dfrac{xy}{z}+2x+2y+2z=9\)

Mặt khác, ta có bđt phụ: \(\dfrac{yz}{x}+\dfrac{xz}{y}+\dfrac{xy}{z}\ge x+y+z\)

\(\Rightarrow9\ge3\left(x+y+z\right)\)

\(\Leftrightarrow x+y+z\le3\)

Áp dụng bđt Cauchy Shwarz \(\Rightarrow\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2\le3\left(x+y+z\right)\le9\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\le3\)

Ta có: \(M=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\dfrac{2016}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)

\(=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\dfrac{9}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\dfrac{2007}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)

\(\ge2\times\sqrt{9}+\dfrac{2007}{3}=675\)

Dấu "=" xảy ra ⇔ x = y = z = 1