Xét \(\Delta ABC\) có:

\(M\) là trung điểm \(AB\)

\(D\) là trung điểm \(BC\)

\(\Rightarrow\) \(MD\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow\) \(MD\)\(=\)\(\dfrac{1}{2}AC\) và \(MD\) //\(AC\)

Ta có:

\(\overrightarrow{KD}=\overrightarrow{KM}+\overrightarrow{MD}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{KD}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{NM}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{KD}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{NA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AM}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{6}\overrightarrow{CA}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\\ \Rightarrow\overrightarrow{KD}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\)

Cho hình bình hành \(ABCD\). \(M\) là trung điểm \(BC\). Trên \(AB\) lấy điểm \(N\) sao cho \(\overrightarrow{BN}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BA}\), \(CN\) giao \(DM\) tại \(K\).

a) Hãy biểu diễn \(\overrightarrow{MN}\) theo \(\overrightarrow{DB},\overrightarrow{DC}\)

b) Tính \(\dfrac{KN}{KC}\)

c) Dựng điểm \(X\) thỏa mãn: \(\overrightarrow{AX}+2\overrightarrow{BX}=4\overrightarrow{DX}-\overrightarrow{CX}\)

d) \(\overrightarrow{AB}=\left(x+1\right)\overrightarrow{AP}\)    

    \(\overrightarrow{AD}=\left(3x-1\right)\overrightarrow{AQ}\)

CMR: \(PQ\) đi qua một điểm cố định

Cho tam giác ABC. Gọi M, N là các điểm thỏa mãn\(\left(m+1\right)\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}\),\(\left(3m+2\right)\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AC}\) (với m>0) . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng MN. Chứng minh H luôn thuộc 1 đường tròn cố định

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi AA', BB' CC' là các dây cung // của (O). Gọi H, H1, H2 lần lượt là trực tâm các tam giác ABC', BCA', CAB'. Chứng minh H, H1, H2 thẳng hàng.

Cho tam giác ABC. Tìm điểm K trên BC sao cho độ dài \(\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}\) bé nhất