Cho nửa đường tròn (O, R), có BC là đường kính. Trên đoạn OC lấy điểm H (H khác C và O). Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt nửa đường tròn tại A. Gọi E và F là hình chiếu của H trên AB, AC. Gọi D là giao điểm của AH và EF.

 a) Chứng minh OA vuông góc với EF.

b) Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với CB, cắt đường thẳng CD tại K. Chứng mình AK//EF

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Kẻ đường cao BD, CE (D thuộc AC, E thuộc AB). 

a) Chứng minh tứ giác BEDC nội tiếp.

b) Cho BD, CE lần lượt cắt đường tròn tâm O tại P, Q và BD cắt CE tại H. Chứng minh: PQ//DE và BH×BD + CH×CE = BC^2

Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh rằng: H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF và gọi M là giao điểm của DE và FC.

b) Chứng minh: HM × FC= HF × MC

Cho parabol (P) y=x^2 và đường thẳng y=mx+2021 (d)

a) Chứng minh rằng: Đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt A(x1, y2) ; B(x1, y2) nằm về 2 phía của trục tung

b) Với x1, x2 là hoành độ của điểm A và B. Hãy tính giá trị của biểu thức: B = x1^2+x1-2021/x1 - x2^2+x2-2021/x2

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC. Lấy điểm A trên tia đối của tia CB. Kẻ tiếp tuyến AF với nửa đường tròn tâm O (F là tiếp điểm), Tia AF cắt tiếp tuyến Bx của nửa đường tròn tâm O tại D (Tia tiếp tuyến Bx nằm trong nửa mặt phẳng BC chứa nửa đường tròn tâm O). Gọi H là giao điểm của BF với DO, K là giao điểm thứ 2 của DC với nửa đường tròn tâm O.

a) Chứng minh: bốn điểm O,B,D,F cùng thuộc một đường tròn

b) Chứng minh: DH×DO = DK×DC

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, AB<AC và nội tiếp đường tròn tâm O. Đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H

a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp

b) Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC tại K. Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF