Giải bài tập Sách Giáo Khoa - Bài 3 Ứng dụng của tích phân trong hình học

Bài 3.24 (Sách bài tập trang 184)

Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi phép quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường ydfrac{1}{x};y0;x1;xa (a1) Gọi thể tích đó là Vleft(aright). Xác định thể tích của vật thể khi arightarrow+infty (tức là limlimits_{arightarrow+infty}Vleft(aright)

Đọc tiếp

Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi phép quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\dfrac{1}{x};y=0;x=1;x=a$ ($a>1$)

Gọi thể tích đó là $V\left(a\right)$. Xác định thể tích của vật thể khi $a\rightarrow+\infty$ (tức là $\lim\limits_{a\rightarrow+\infty}V\left(a\right)$

Thảo luận (0)

Bài 3.25 (Sách bài tập trang 185)

Một hình phẳng được giới hạn bởi ye^{-x};y0;x0;x1 Ta chia đoạn left[0;1right] thành n phần bằng nhau tạo thành một hình bậc thang (bởi n hình chữ nhật con như hình 80) a) Tính diện tích S_n của hình bậc thang (tổng diện tích của n hình chữ nhật con) b) Tìm limlimits_{nrightarrowinfty}S_n và so sánh với cách tính diện tích hình phẳng này bằng công thức tính tích phân

Đọc tiếp

Một hình phẳng được giới hạn bởi $y=e^{-x};y=0;x=0;x=1$

Ta chia đoạn $\left[0;1\right]$ thành n phần bằng nhau tạo thành một hình bậc thang (bởi n hình chữ nhật con như hình 80)

a) Tính diện tích $S_n$ của hình bậc thang (tổng diện tích của n hình chữ nhật con)

b) Tìm $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}S_n$ và so sánh với cách tính diện tích hình phẳng này bằng công thức tính tích phân

Thảo luận (0)

Bài 5 (SGK trang 121)

Cho tam giác vuông OPM có cạnh OP nằm trên trục Ox. Đặt widehat{POM}alpha;OMRleft(0lealphaledfrac{pi}{3};R0right) Gọi V là khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó xung quanh trục Ox (H.63) a) Tính thể tích của V theo alpha và R b) Tìm alpha sao cho thể tích của V lớn nhất

Đọc tiếp

Cho tam giác vuông OPM có cạnh OP nằm trên trục Ox. Đặt $\widehat{POM}=\alpha;OM=R\left(0\le\alpha\le\dfrac{\pi}{3};R>0\right)$

Gọi V là khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó xung quanh trục Ox (H.63)

a) Tính thể tích của V theo $\alpha$ và R

b) Tìm $\alpha$ sao cho thể tích của V lớn nhất

Hướng dẫn giải

a) Hoành độ điểm P là :

x_p = OP = OM. cos α = R.cosα

Phương trình đường thẳng OM là y = tanα.x. Thể tích V của khối tròn xoay là:

b) Đặt t = cosα => t ∈ . (vì α ∈ ), α = arccos t.

Ta có :

V' = 0 ⇔

hoặc (loại).

Từ đó suy ra V(t) lớn nhất ⇔ , khi đó : .

(Trả lời bởi Hiiiii~)

Thảo luận (1)

Bài 3.23 (Sách bài tập trang 184)

Tính thể tích các khối tròn xoay khi quay hình phẳng xác định bởi : a) y2-x^2;y1, quanh trục Ox b) y2x-x^2;yx, quanh trục Ox c) yleft(2x+1right)^{dfrac{1}{3}};x0;y3, quanh trục Oy d) yx^2+1;x0 và tiếp tuyến với yx^2+1 tại điểm left(1;2right), quanh trục Ox e) yln x;y0;xe, quanh trục Oy

Đọc tiếp

Tính thể tích các khối tròn xoay khi quay hình phẳng xác định bởi :

a) $y=2-x^2;y=1$, quanh trục Ox

b) $y=2x-x^2;y=x$, quanh trục Ox

c) $y=\left(2x+1\right)^{\dfrac{1}{3}};x=0;y=3$, quanh trục Oy

d) $y=x^2+1;x=0$ và tiếp tuyến với $y=x^2+1$ tại điểm $\left(1;2\right)$, quanh trục Ox

e) $y=\ln x;y=0;x=e$, quanh trục Oy

Thảo luận (0)

Bài 3.21 (Sách bài tập trang 184)

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau : a) y2x-x^2;x+y2 b) yx^3-12x;yx^2 c) x+y1;x+y-1;x-y1;x-y-1 d) ydfrac{1}{1+x^2};ydfrac{1}{2} e) yx^3-1 và tiếp tuyến với yx^3-1 tại điểm left(-1;-2right)

Đọc tiếp

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau :

a) $y=2x-x^2;x+y=2$

b) $y=x^3-12x;y=x^2$

c) $x+y=1;x+y=-1;x-y=1;x-y=-1$

d) $y=\dfrac{1}{1+x^2};y=\dfrac{1}{2}$

e) $y=x^3-1$ và tiếp tuyến với $y=x^3-1$ tại điểm $\left(-1;-2\right)$

Hướng dẫn giải

(Trả lời bởi Nguyen Thuy Hoa)

Thảo luận (1)

Bài 4 (SGK trang 121)

Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Ox :

a) $y=1-x^2;y=0$

b) $y=\cos x;y=0;x=0;x=\pi$

c) $y=\tan x;y=0;x=0;x=\dfrac{\pi}{4}$

Hướng dẫn giải

a) Phương trình hoành độ giao điểm

1 - x² = 0 ⇔ x = ±1.

Thể tích cần tìm là :

$V=\frac{-1}{1}(1-x^{2})^{2}dx=2\pi \int_{0}^{1}(x^{4}-2x^{2}+1)dx$

$=2\pi \left (\frac{x^{4}}{5}- \frac{2}{3}x^{3}+x \right )|_{0}^{1}=2\pi\left ( \frac{1}{5}-\frac{2}{3}+1 \right )=\frac{16}{15}\pi$

b) Thể tích cần tìm là :

$V= \pi \int_{0}^{\pi }cos^{2}xdx =\frac{\pi }{2}\int_{0}^{\pi}(1+cos2x)dx$

$=\frac{\pi }{2}\left (x+\frac{1}{2}sin2x \right )|_{0}^{\pi }=\frac{\pi }{2}\pi =\frac{\pi ^{2}}{2}$

c) Thể tích cần tìm là :

$V=\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}tan^{2}xdx=\int_{0}^{\frac{\pi }{4} }\left (\frac{1}{cos^{2}x}-1 \right )dx$

$=\pi \left (tanx-x \right )|_{0}^{\frac{\pi }{4}}=\pi (1-\frac{\pi }{4})$ .

(Trả lời bởi Hai Binh)