Một ô tô đang chạy với vận tốc 20 m/s thì người lái đạp phanh. Sau khi đạp phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = −40t + 20 (m/s), trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?
Bài 12. Tích phân
Mở đầu (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 12)
Thảo luận (0)
Hoạt động 1 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 13)
Kí hiệu T là hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng y x + 1, trục hoành và hai đường thẳng x 1, x t (1 ≤ t ≤ 4) (H.4.4)a) Tính diện tích S của T khi t 4.b) Tính diện tích S(t) của T khi t ∈ [1; 4].c) Chứng minh rằng S(t) là một nguyên hàm của hàm số f(t) t + 1, t ∈ [1; 4] và diện tích S S(4) – S(1).
Đọc tiếp
Kí hiệu T là hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng y = x + 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = t (1 ≤ t ≤ 4) (H.4.4)
a) Tính diện tích S của T khi t = 4.
b) Tính diện tích S(t) của T khi t ∈ [1; 4].
c) Chứng minh rằng S(t) là một nguyên hàm của hàm số f(t) = t + 1, t ∈ [1; 4] và diện tích S = S(4) – S(1).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Gọi A, D lần lượt là giao điểm của các đường thẳng \(x = 1\), \(x = 4\) với trục hoành; B, C lần lượt là giao điểm của các đường thẳng \(x = 1\), \(x = 4\) với đường thẳng \(y = x + 1\).
Khi đó, \(A\left( {1;0} \right),B\left( {1;2} \right),C\left( {4;5} \right),D\left( {4;0} \right)\). Do đó, \(AB = 2,CD = 5,AD = 3\)
Diện tích hình thang ABCD là: \(S = \frac{{\left( {AB + CD} \right).AD}}{2} = \frac{{\left( {2 + 5} \right).3}}{2} = \frac{{21}}{2}\)
b) Gọi A, D lần lượt là giao điểm của các đường thẳng \(x = 1\), \(x = t\) với trục hoành, B, C lần lượt là giao điểm của đường thẳng \(x = 1\), \(x = t\) với đường thẳng \(y = x + 1\).
Khi đó, \(A\left( {1;0} \right),B\left( {1;2} \right),C\left( {t;t + 1} \right),D\left( {t;0} \right)\). Do đó, \(AB = 2,CD = t + 1,AD = t - 1\)
Diện tích hình thang ABCD là:
\(S\left( t \right) = \frac{{\left( {AB + CD} \right).AD}}{2} = \frac{{\left( {2 + t + 1} \right).\left( {t - 1} \right)}}{2} = \frac{{\left( {t + 3} \right)\left( {t - 1} \right)}}{2} = \frac{{{t^2} + 2t - 3}}{2}\)
c) Ta có: \(S'\left( t \right) = {\left( {\frac{{{t^2} + 2t - 3}}{2}} \right)'} = \frac{1}{2}\left( {2t + 2} \right) = t + 1 = f\left( t \right)\)
Do đó, S(t) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( t \right) = t + 1,t \in \left[ {1;4} \right]\).
Lại có: \(S\left( 4 \right) - S\left( 1 \right) = \frac{{{4^2} + 2.4 - 3}}{2} - \frac{{{1^2} + 2.1 - 3}}{2} = \frac{{21}}{2} - 0 = \frac{{21}}{2}\)
Suy ra: \(S = S\left( 4 \right) - S\left( 1 \right)\).
(Trả lời bởi datcoder)
Hoạt động 2 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 13)
Xét hình thang cong giới hạn bởi đồ thị $yx^2$, trục hoành và hai đường thẳng $x1, x2$. Ta muốn tính diện tích $S$ của hình thang cong này.a) Với mỗi $x in[1 ; 2]$, gọi $S(x)$ là diện tích phần hình thang cong đã cho nằm giữa hai đường thẳng vuông góc với trục $0 x$ tại điểm có hoành độ bằng 1 và $x(mathrm{H} .4 .5)$.Cho $h0$ sao cho $x+h2$. So sánh hiệu $S(x+h)-S(x)$ với diện tích hai hình chữ nhật MNPQ và MNEF (H.4.6). Từ đó suy ra $0 leq frac{S(x+h)-S(x)}{h}-x^2 leq 2 x h+h^2$.b) Cho $h0$ sao...
Đọc tiếp
Xét hình thang cong giới hạn bởi đồ thị $y=x^2$, trục hoành và hai đường thẳng $x=1, x=2$. Ta muốn tính diện tích $S$ của hình thang cong này.
a) Với mỗi $x \in[1 ; 2]$, gọi $S(x)$ là diện tích phần hình thang cong đã cho nằm giữa hai đường thẳng vuông góc với trục $0 x$ tại điểm có hoành độ bằng 1 và $x(\mathrm{H} .4 .5)$.
Cho $h>0$ sao cho $x+h<2$. So sánh hiệu $S(x+h)-S(x)$ với diện tích hai hình chữ nhật MNPQ và MNEF (H.4.6). Từ đó suy ra $0 \leq \frac{S(x+h)-S(x)}{h}-x^2 \leq 2 x h+h^2$.
b) Cho $h<0$ sao cho $x+h>1$. Tương tự phần a, đánh giá hiệu $S(x)-S(x+h)$ và từ đó suy ra $2 x h+h^2 \leq \frac{S(x+h)-S(x)}{h}-x^2 \leq 0$.
c) Từ kết quả phần a và phần b, suy ra với mọi $\mathrm{h} \neq 0$, ta có $\left|\frac{S(x+h)-S(x)}{h}-x^2\right| \leq 2 x|h|+h^2$.
Từ đó chứng minh $S^{\prime}(x)=x^2, x \in(1 ; 2)$.
Người ta chứng minh được $S^{\prime}(1)=1, S^{\prime}(2)=4$, tức là $S(x)$ là một nguyên hàm của $x^2$ trên $[1 ; 2]$.
d) Từ kết quả của phần c , ta có $S(x)=\frac{x^3}{3}+C$. Sử dụng điều này với lưu ý $\mathrm{S}(1)=0$ và diện tích cần tính $\mathrm{S}=$ $S(2)$, hãy tính $S$.
Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm tùy ý của $f(x)=x^2$ trên $[1 ; 2]$. Hãy so sánh $S$ và $F(2)-F(1)$.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Với \(h > 0\) sao cho \(x + h < 2\), gọi \({S_{MNPQ}}\) và \({S_{MNEF}}\) lần lượt là diện tích các hình chữ nhật MNPQ và MNEF thì \({S_{MNPQ}} \le S\left( {x + h} \right) - S\left( x \right) \le {S_{MNEF}}\)
Diện tích hình chữ nhật MNPQ là: \({S_{MNPQ}} = MN.MQ = \left( {x + h - x} \right){x^2} = h{x^2}\)
Diện tích hình chữ nhật MNEF là: \({S_{MNEF}} = MN.NE = \left( {x + h - x} \right){\left( {x + h} \right)^2} = h{\left( {x + h} \right)^2}\)
Do đó, \(h{x^2} \le S\left( {x + h} \right) - S\left( x \right) \le h{\left( {x + h} \right)^2}\). Vậy \(0 \le \frac{{S\left( {x + h} \right) - S\left( x \right)}}{h} - {x^2} \le 2xh + {h^2}\)
b)
Với \(h < 0\) sao cho \(x + h > 1\), gọi \({S_{MNPQ}}\) và \({S_{MNEF}}\) lần lượt là diện tích các hình chữ nhật MNPQ và MNEF thì \({S_{MNPQ}} \le S\left( x \right) - S\left( {x + h} \right) \le {S_{MNEF}}\)
Diện tích hình chữ nhật MNPQ là: \({S_{MNPQ}} = MN.MQ = - h{\left( {x + h} \right)^2} > 0\)
Diện tích hình chữ nhật MNEF là: \({S_{MNEF}} = MN.NE = - h{x^2}\)
Do đó, \( - h{\left( {x + h} \right)^2} \le S\left( {x + h} \right) - S\left( x \right) \le - h{x^2}\)
Vậy \(2xh + {h^2} \le \frac{{S\left( {x + h} \right) - S\left( x \right)}}{h} - {x^2} \le 0\) (do \(h < 0\) nên \( - h > 0\))
c) Từ phần a và phần b, suy ra với mọi \(h \ne 0\), ta có: \(\left| {\frac{{S\left( {x + h} \right) - S\left( x \right)}}{h} - {x^2}} \right| \le 2x\left| h \right| + {h^2}\)
Do đó, \(S'\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{S\left( {x + h} \right) - S\left( x \right)}}{h} = {x^2},x \in \left( {1;2} \right)\). Suy ra, \(S'\left( 1 \right) = 1,S'\left( 2 \right) = 4\).
Do đó, S(x) là một nguyên hàm của \({x^2}\) trên \(\left[ {1;2} \right]\).
d) Theo c ta có: \(S\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + C\), \(S\left( 1 \right) = 0\) nên \(\frac{1}{3} + C = 0 \Leftrightarrow C = \frac{{ - 1}}{3}\).
Do đó, \(S\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{1}{3}\)
Diện tích cần tính là: \(S = S\left( 2 \right) = \frac{{{2^3}}}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}\)
Vì F(x) là một nguyên hàm tùy ý của \(f\left( x \right) = {x^2}\) trên \(\left[ {1;2} \right]\) nên \(F\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + C,C \in \mathbb{R}\)
Ta có: \(F\left( 2 \right) - F\left( 1 \right) = \frac{7}{3} - 0 = \frac{7}{3} = S\). Do đó, \(S = F\left( 2 \right) - F\left( 1 \right)\)
(Trả lời bởi datcoder)
Hoạt động 3 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 14)
Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b], F(x) và G(x) là hai nguyên hàm tùy ý của f(x) trên đoạn [a; b]. Chứng minh rằng F(b) – F(a) = G(b) – G(a).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiVì F(x) và G(x) là hai nguyên hàm tùy ý của f(x) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) nên tồn tại hằng số C sao cho \(F\left( x \right) = G\left( x \right) + C\).
Do đó, \(F\left( b \right) - F\left( a \right) = G\left( b \right) + C - G\left( a \right) - C = G\left( b \right) - G\left( a \right)\)
(Trả lời bởi datcoder)
Luyện tập 1 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 15)
Tính:
a) \(\int\limits^1_0e^xdx;\) b) \(\int\limits^e_1\dfrac{1}{x}dx;\) c) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0\sin xdx;\) d) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{3}}_{\dfrac{\pi}{6}}\dfrac{dx}{\sin^2x}.\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) \(\int\limits_0^1 {{e^x}dx} = {e^x}\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. = {e^1} - {e^0} = e - 1\);
b) \(\int\limits_1^e {\frac{1}{x}dx} = \ln \left| x \right|\left| \begin{array}{l}e\\1\end{array} \right. = \ln e - \ln 1 = 1\);
c) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx} = - \cos x\left| \begin{array}{l}\frac{\pi }{2}\\0\end{array} \right. = - \cos \frac{\pi }{2} + \cos 0 = 1\);
d) \(\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}}} = - \tan x\left| \begin{array}{l}\frac{\pi }{3}\\\frac{\pi }{6}\end{array} \right. = - \cot \frac{\pi }{3} + \cot \frac{\pi }{6} = - \frac{{\sqrt 3 }}{3} + \sqrt 3 = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\).
(Trả lời bởi datcoder)
Luyện tập 2 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 16)
Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính:
a) \(\int\limits^3_1\left(2x+1\right)dx;\) b) \(\int\limits^2_{-2}\sqrt{4-x^2}dx.\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Tích phân cần tính là diện tích của hình thang vuông ABCD, có đáy nhỏ \(AB = 3,\) đáy lớn \(CD = 7\) và đường cao \(AD = 2\).
Do đó, \(\int\limits_1^3 {\left( {2x + 1} \right)dx} = {S_{ABCD}} = \frac{1}{2}\left( {AB + CD} \right)AD = \frac{1}{2}\left( {3 + 7} \right).2 = 10\)
b) Ta có \(y = \sqrt {4 - {x^2}} \) là phương trình nửa phía trên trục hoành của đường tròn tâm tại gốc tọa độ O và bán kính 2. Do đó, tích phân cần tính là diện tích nửa phía trên trục hoành của hình tròn tương ứng.
Vậy \(\int\limits_{ - 2}^2 {\sqrt {4 - {x^2}} dx} = 2\pi \)
(Trả lời bởi datcoder)
Hoạt động 4 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 16)
Tính và so sánh:
a) $\int_0^1 2 x d x$ và $2 \int_0^1 x d x$;
b) $\int_0^1\left(x^2+x\right) d x$ và $\int_0^1 x^2 d x+\int_0^1 x d x$;
c) $\int_0^3 x d x$ và $\int_0^1 x d x+\int_1^3 x d x$.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) Ta có: \(\int\limits_0^1 {2xdx} = {x^2}\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. = 1\), \(2\int\limits_0^1 {xdx} = 2.\frac{{{x^2}}}{2}\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. = 1\) nên \(\int\limits_0^1 {2xdx} = 2\int\limits_0^1 {xdx} \)
b) Ta có: \(\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + x} \right)dx} = \left( {\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2}} \right)\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6}\)
\(\int\limits_0^1 {{x^2}dx} + \int\limits_0^1 {xdx} = \frac{{{x^3}}}{3}\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. + \frac{{{x^2}}}{2}\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. = \frac{1}{3} - 0 + \frac{1}{2} - 0 = \frac{5}{6}\)
Do đó, \(\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + x} \right)dx} = \int\limits_0^1 {{x^2}dx} + \int\limits_0^1 {xdx} \)
c) Ta có: \(\int\limits_0^3 {xdx} = \frac{{{x^2}}}{2}\left| \begin{array}{l}3\\0\end{array} \right. = \frac{{{3^2}}}{2} - 0 = \frac{9}{2}\); \(\int\limits_0^1 {xdx} + \int\limits_1^3 {xdx} = \frac{{{x^2}}}{2}\left| \begin{array}{l}1\\0\end{array} \right. + \frac{{{x^2}}}{2}\left| \begin{array}{l}3\\1\end{array} \right. = \frac{1}{2} - 0 + \frac{{{3^2}}}{2} - \frac{1}{2} = \frac{9}{2}\)
Do đó, \(\int\limits_0^3 {xdx} = \int\limits_0^1 {xdx} + \int\limits_1^3 {xdx} \)
(Trả lời bởi datcoder)
Luyện tập 3 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 17)
Tính các tích phân sau:
a) \(\int\limits^{2\pi}_0\left(2x+\cos x\right)dx;\) b) \(\int\limits^2_1\left(3^x-\dfrac{3}{x}\right)dx;\) c) \(\int\limits^{\dfrac{\pi}{3}}\left(\dfrac{1}{\cos^2x}-\dfrac{1}{\sin^2x}\right)_{\dfrac{\pi}{6}}dx\).
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảia) \(\int\limits_0^{2\pi } {\left( {2x + \cos x} \right)dx} = 2\int\limits_0^{2\pi } {xdx} + \int\limits_0^{2\pi } {\cos xdx} = 2.\frac{{{x^2}}}{2}\left| \begin{array}{l}2\pi \\0\end{array} \right. + \sin x\left| \begin{array}{l}2\pi \\0\end{array} \right.\)
\( = {\left( {2\pi } \right)^2} - 0 + \sin 2\pi - \sin 0 = 4{\pi ^2}\)
b) \(\int\limits_1^2 {\left( {{3^x} - \frac{3}{x}} \right)dx} = \int\limits_1^2 {{3^x}dx} - 3\int\limits_1^2 {\frac{1}{x}dx} = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}}\left| \begin{array}{l}2\\1\end{array} \right. - 3\ln \left| x \right|\left| \begin{array}{l}2\\1\end{array} \right. = \frac{1}{{\ln 3}}\left( {{3^2} - {3^1}} \right) - 3\ln 2 + 3\ln 1\)
\( = \frac{6}{{\ln 3}} - 3\ln 2\)
c) \(\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} - \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx = \tan x\left| \begin{array}{l}\frac{\pi }{3}\\\frac{\pi }{6}\end{array} \right. + \cot x\left| \begin{array}{l}\frac{\pi }{3}\\\frac{\pi }{6}\end{array} \right.} \)
\( = \tan \frac{\pi }{3} - \tan \frac{\pi }{6} + \cot \frac{\pi }{3} - \cot \frac{\pi }{6} = \sqrt 3 - \frac{{\sqrt 3 }}{3} + \frac{{\sqrt 3 }}{3} - \sqrt 3 = 0\)
(Trả lời bởi datcoder)
Luyện tập 4 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 17)
Tính \(\int\limits^3_0\left|2x-3\right|dx.\)
Thảo luận (1)Hướng dẫn giải\(\int\limits_0^3 {\left| {2x - 3} \right|dx} = \int\limits_0^{\frac{3}{2}} {\left| {2x - 3} \right|dx} + \int\limits_{\frac{3}{2}}^3 {\left| {2x - 3} \right|dx} = \int\limits_0^{\frac{3}{2}} {\left( {3 - 2x} \right)dx} + \int\limits_{\frac{3}{2}}^3 {\left( {2x - 3} \right)dx} \)
\( = \left( {3x - {x^2}} \right)\left| \begin{array}{l}\frac{3}{2}\\0\end{array} \right. + \left( {{x^2} - 3x} \right)\left| \begin{array}{l}3\\\frac{3}{2}\end{array} \right. = \left[ {\left( {\frac{9}{2} - \frac{9}{4}} \right) - 0} \right] + \left[ {\left( {{3^2} - 3.3} \right) - \left( {\frac{9}{4} - \frac{9}{2}} \right)} \right] = \frac{9}{2}\)
(Trả lời bởi datcoder)
Vận dụng 2 (SGK Kết nối tri thức với cuộc sống - Trang 17)
Giá trị trung bình của hàm số liên tục f(x) trên đoạn [a; b] được định nghĩa là dfrac{1}{b-a}intlimits^b_afleft(xright)dx.Giả sử nhiệt độ (tính bằng °C) tại thời điểm t giờ trong khoảng thời gian từ 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa ở một địa phương vào một ngày nào đó được mô hình hóa bởi hàm sốT(t) 20 + 1,5(t – 6), 6 ≤ t ≤ 12.Tìm nhiệt độ trung bình vào ngày đó trong khoảng thời gian từ 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa.
Đọc tiếp
Giá trị trung bình của hàm số liên tục f(x) trên đoạn [a; b] được định nghĩa là \(\dfrac{1}{b-a}\int\limits^b_af\left(x\right)dx\).
Giả sử nhiệt độ (tính bằng °C) tại thời điểm t giờ trong khoảng thời gian từ 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa ở một địa phương vào một ngày nào đó được mô hình hóa bởi hàm số
T(t) = 20 + 1,5(t – 6), 6 ≤ t ≤ 12.
Tìm nhiệt độ trung bình vào ngày đó trong khoảng thời gian từ 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa.
Thảo luận (1)Hướng dẫn giảiNhiệt độ trung bình vào ngày đó từ khoảng thời gian 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa là:
\(\frac{1}{{12 - 6}}\int\limits_6^{12} {\left[ {20 + 1,5\left( {t - 6} \right)} \right]dt} = \frac{1}{6}\int\limits_6^{12} {\left( {11 + 1,5t} \right)dt = \frac{1}{6}\left( {11t + \frac{3}{4}{t^2}} \right)\left| \begin{array}{l}12\\6\end{array} \right.} \)
\( = \frac{1}{6}\left[ {\left( {11.12 + \frac{3}{4}{{.12}^2}} \right) - \left( {11.6 + \frac{3}{4}{{.6}^2}} \right)} \right] = 24,{5^0}C\)
Vậy nhiệt độ trung bình vào ngày đó trong trong khoảng thời gian từ 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa là \(24,{5^0}C\).
(Trả lời bởi datcoder)