§3. Công thức lượng giác

Cho A, B, C là các góc nhọn, dương và \(\tan A=\dfrac{1}{2};\tan B=\dfrac{1}{5};\tan C=\dfrac{1}{8}\).

Tổng 3 góc A + B + C bằng 

1. \(\dfrac{\pi}{6}\).
2. \(\dfrac{\pi}{5}\).
3. \(\dfrac{\pi}{4}\).
4. \(\dfrac{\pi}{3}\).

Biết rằng \(\sin\beta=\dfrac{4}{5};0< \beta< \dfrac{\pi}{2}\) và \(\alpha\ne k\pi\).

Giá trị của biểu thức \(A=\dfrac{\sqrt{3}\sin\left(\alpha+\beta\right)-\dfrac{4\cos\left(\alpha+\beta\right)}{\sqrt{3}}}{\sin\alpha}\) không phụ thuộc vào \(\alpha\) và bằng 

1. \(\dfrac{\sqrt{5}}{3}\).
2. \(\dfrac{5}{\sqrt{3}}\).
3. \(\dfrac{\sqrt{3}}{5}\).
4. \(\dfrac{3}{\sqrt{5}}\).

x, y đều là các góc nhọn và dương, \(\cot x=\dfrac{3}{4};\cot y=\dfrac{1}{7}\). Tổng x + y bằng 

1. \(\dfrac{\pi}{4}\).
2. \(\dfrac{3\pi}{4}\).
3. \(\dfrac{\pi}{3}\).
4. \(\pi\).

Biết \(\tan\left(\alpha+\beta\right)=5;\tan\left(\alpha-\beta\right)=3\). Giá trị đúng của \(\tan2\alpha\) là 

1. \(\dfrac{7}{4}\).
2. \(-\dfrac{7}{4}\).
3. \(\dfrac{4}{7}\).
4. \(-\dfrac{4}{7}\).

Hệ thức nào sau đây là sai?

1. \(\cos\left(a+b\right).\cos\left(a-b\right)=\cos^2b-\sin^2a\).
2. \(\sin\left(\dfrac{\pi}{4}+a\right)-\sin\left(\dfrac{\pi}{4}-a\right)=\sqrt{2}\sin a\).
3. \(\dfrac{\cos\left(a+b\right).\cos\left(a-b\right)}{\cos^2a.\cos^2b}=1-\tan^2a.\tan^2b\).
4. \(\dfrac{\cos\left(a+b\right).\cos\left(a-b\right)}{\sin^2a.\sin^2b}=1-\cot^2a.\cot^2b\).

Nếu biết \(\sin\alpha=\dfrac{5}{13};\left(\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2};\pi\right)\right);\cos\beta=\dfrac{3}{5};\left(\beta\in\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)\right)\) thì giá trị đúng của \(\cos\left(\alpha+\beta\right)\) là 

1. \(-\dfrac{50}{65}\).
2. \(-\dfrac{52}{65}\).
3. \(-\dfrac{54}{65}\).
4. \(-\dfrac{56}{65}\).

Nếu \(\cos a=\dfrac{8}{17};\tan b=\dfrac{5}{12}\) và a, b đều là các góc nhọn, dương thì giá trị của \(\sin\left(a-b\right)\) là 

1. \(\dfrac{138}{221}\).
2. \(\dfrac{140}{221}\).
3. \(\dfrac{142}{221}\).
4. \(\dfrac{144}{221}\).

Nếu x, y là hai góc nhọn, dương và \(\tan x=3\tan y\) thì 

1. \(x-y\ge30^o\).
2. \(x-y\le30^o\).
3. \(x-y\ge45^o\).
4. \(x-y\le45^o\).

Nếu \(\sin\alpha.\cos\left(\alpha+\beta\right)=\sin\beta;\alpha+\beta\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi\) và \(\alpha\ne\dfrac{\pi}{2}+l\pi\) thì đẳng thức nào sau đây là đúng?

1. \(\tan\left(\alpha+\beta\right)=2\cot\alpha\).
2. \(\tan\left(\alpha+\beta\right)=2\cot\beta\).
3. \(\tan\left(\alpha+\beta\right)=2\tan\beta\).
4. \(\tan\left(\alpha+\beta\right)=2\tan\alpha\).

Nếu \(\alpha+\beta+\gamma=\dfrac{\pi}{2}\) và \(\cot\alpha+\cot\gamma=2\cot\beta\) thì tích số \(\cot\alpha.\cot\gamma\) bằng 

1. \(\sqrt{2}\).
2. \(\sqrt{3}\).
3. 2.
4. 3.

Biểu thức \(\tan x.\tan\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)+\tan\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right).\tan\left(x+\dfrac{2\pi}{3}\right)+\tan\left(x+\dfrac{2\pi}{3}\right).\tan x\) có giá trị không phụ thuộc vào x. Giá trị đó bằng 

1. 3.
2. -3.
3. 6.
4. -6.

Nếu \(a+b\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi;\sin a=A.\sin\left(a+b\right);A\ne\cos b\) thì \(\tan\left(a+b\right)\) là biểu thức nào sau đây?

1. \(\dfrac{\sin b}{A-\cos b}\).
2. \(\dfrac{\cos b}{A-\sin b}\).
3. \(\dfrac{\sin b}{\cos b-A}\).
4. \(\dfrac{\cos b}{\sin b-A}\).

Biểu thức \(\sin^2x+\sin^2\left(\dfrac{2\pi}{3}+x\right)+\sin^2\left(\dfrac{2\pi}{3}-x\right)\) không phụ thuộc vào x và có kết quả rút gọn bằng 

1. \(\dfrac{2}{3}\).
2. \(\dfrac{3}{2}\).
3. \(\dfrac{3}{4}\).
4. \(\dfrac{4}{3}\).

Cho \(\cot a=15\) thì \(\sin2a\) bằng 

1. \(\dfrac{11}{113}\).
2. \(\dfrac{13}{113}\).
3. \(\dfrac{15}{113}\).
4. \(\dfrac{17}{113}\).

Cho a, b là hai góc nhọn, dương ; \(\sin a=\dfrac{1}{3};\sin b=\dfrac{1}{2}\) thì giá trị của \(\sin2\left(a+b\right)\) là 

1. \(\dfrac{2\sqrt{2}+7\sqrt{3}}{18}\).
2. \(\dfrac{3\sqrt{2}+7\sqrt{3}}{18}\).
3. \(\dfrac{4\sqrt{2}+7\sqrt{3}}{18}\).
4. \(\dfrac{5\sqrt{2}+7\sqrt{3}}{18}\).

Biết \(\tan a=\dfrac{1}{2};\left(0< a< \dfrac{\pi}{2}\right);\tan b=-\dfrac{1}{3};\left(\dfrac{\pi}{2}< b< \pi\right)\).

Giá trị của \(\sin\left(a-2b\right)\) bằng 

1. \(\dfrac{\sqrt{5}}{2}\).
2. \(\dfrac{2}{\sqrt{5}}\).
3. \(\dfrac{\sqrt{2}}{5}\).
4. \(\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\).

Biết \(\sin a+\cos a=\dfrac{\sqrt{7}}{2};0< a< \dfrac{\pi}{6}\) thì giá trị đúng của \(\tan\dfrac{a}{2}\) bằng 

1. \(\dfrac{\sqrt{7}-2}{3}\).
2. \(\dfrac{\sqrt{2}-7}{3}\).
3. \(\dfrac{2-\sqrt{7}}{3}\).
4. \(\dfrac{7-\sqrt{2}}{3}\).

a, b là hai góc nhọn, dương và thỏa mãn điều kiện \(\left\{\begin{matrix}3\sin^2a-2\sin^2b=1\left(1\right)\\3\sin2a-2\sin2b=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Tính \(a+2b\).

1. \(30^0\).
2. \(60^0\).
3. \(45^0\).
4. \(90^0\).

Rút gọn biểu thức \(\sin^2\left(\dfrac{\pi}{8}+\alpha\right)-\sin^2\left(\dfrac{\pi}{8}-\alpha\right)\) ta được 

1. \(\sqrt{2}\sin2\alpha\).
2. \(\sqrt{2}\cos2\alpha\).
3. \(\dfrac{\sin2\alpha}{\sqrt{2}}\).
4. \(\dfrac{\cos2\alpha}{\sqrt{2}}\).

Hệ thức nào sau đây là sai?

1. \(\cos3x.\sin^3x+\sin3x.\cos^3x=\dfrac{3}{4}\sin4x\).
2. \(\cot a-\tan a-2\tan2a-4\tan4a=8\cot8a\).
3. \(\sin^4x+\cos^4x=\dfrac{1}{4}\cos4x+\dfrac{3}{4}\).
4. \(\dfrac{1+\sin x}{\cos x}=\tan\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{x}{2}\right)\).

Nếu biết \(\tan a=\dfrac{1}{7};\tan b=\dfrac{1}{3};0< b< \dfrac{\pi}{4}\) thì đẳng thức nào sau đây là đúng?

1. \(\sin2a=\cos4b\).
2. \(\sin4a=\cos2b\).
3. \(\cos2a=\sin4b\).
4. \(\cos4a=\sin2b\).

Hệ thức nào sau đây là sai?

1. \(\cos^3x.\sin x-\sin^3x.\cos x=\dfrac{1}{4}\sin4x\).
2. \(\tan x.\tan\left(\dfrac{\pi}{3}-x\right).\tan\left(\dfrac{\pi}{3}+x\right)=\tan3x\).
3. \(\dfrac{6+2\cos4x}{1-\cos4x}=\cot^2x+\tan^2x\).
4. \(\cos4a=\sin^4a+\cos^4a-4\sin^2a.\cos^2a\).

\(A=\sin^{10}x+\cos^{10}x\) có biểu thức hạ bậc bằng 

1. \(\dfrac{61}{128}+\dfrac{13}{32}\cos4x+\dfrac{3}{128}\cos8x\).
2. \(\dfrac{63}{128}+\dfrac{15}{32}\cos4x+\dfrac{5}{128}\cos8x\).
3. \(\dfrac{65}{128}+\dfrac{17}{32}\cos4x+\dfrac{7}{128}\cos8x\).
4. \(\dfrac{67}{128}+\dfrac{19}{32}\cos4x+\dfrac{9}{128}\cos8x\).

Nếu \(\tan\dfrac{\beta}{2}=4\tan\dfrac{\alpha}{2}\) thì \(\tan\dfrac{\beta-\alpha}{2}\) bằng 

1. \(\dfrac{3\sin\alpha}{5-3\cos\alpha}\).
2. \(\dfrac{3\sin\alpha}{5+3\cos\alpha}\).
3. \(\dfrac{3\cos\alpha}{5-3\sin\alpha}\).
4. \(\dfrac{3\cos\alpha}{5+3\sin\alpha}\).

Rút gọn biểu thức \(A=\dfrac{2\cos^22\alpha+\sqrt{3}\sin4\alpha-1}{2\sin^22\alpha+\sqrt{3}\sin4\alpha-1}\) ta được

1. \(\dfrac{\cos\left(4\alpha+30^0\right)}{\cos\left(4\alpha-30^0\right)}\).
2. \(\dfrac{\cos\left(4\alpha-30^0\right)}{\cos\left(4\alpha+30^0\right)}\).
3. \(\dfrac{\sin\left(4\alpha+30^0\right)}{\sin\left(4\alpha-30^0\right)}\).
4. \(\dfrac{\sin\left(4\alpha-30^0\right)}{\sin\left(4\alpha+30^0\right)}\).

Biết rằng \(\cos\dfrac{\pi}{7}.\cos\dfrac{4\pi}{7}.\cos\dfrac{5\pi}{7}\) là một số hữu tỉ. Số hữu tỉ này là

1. \(\dfrac{1}{8}\).
2. \(-\dfrac{1}{8}\).
3. \(\dfrac{1}{4}\).
4. \(-\dfrac{1}{4}\).

Biểu thức \(B=\cos^2x+\cos^2\left(\dfrac{\pi}{3}+x\right)+\cos^2\left(\dfrac{\pi}{3}-x\right)\) không phụ thuộc vào x và bằng 

1. \(\dfrac{3}{4}\).
2. \(\dfrac{4}{3}\).
3. \(\dfrac{3}{2}\).
4. \(\dfrac{2}{3}\).

Hãy chọn công thức sai trong các công thức dưới đây.

1. \(4\sin x.\cos^3x-4\cos x.\sin^3x=\sin4x\).
2. \(\sin^4x+\cos^4x=\dfrac{3+\cos4x}{4}\).
3. \(\dfrac{1+\sin x}{\cos x}=\cot\left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{x}{2}\right)\).
4. \(\cot^2x+\tan^2x=\dfrac{2\cos4x+6}{1-\cos4x}\).

Hệ thức nào sau đây là sai?

1. \(\dfrac{\sin^23a}{\sin^2a}-\dfrac{\cos^23a}{\cos^2a}=8\sin2a\).
2. \(\cos4a=\sin^4a+\cos^4a-6\sin^2a\cos^2a\).
3. \(\cot a-\tan a-2\tan2a-4\tan4a=8\cot8a\).
4. \(\tan\left(\dfrac{\pi}{4}+\alpha\right)=\dfrac{1+\sin2\alpha}{\cos2\alpha}\).

Hệ thức nào dưới đây là sai?

1. \(\dfrac{\cos2x}{1+\sin2x}=\dfrac{1-\tan x}{1+\tan x}\).
2. \(4\sin a\cos a\left(1-2\sin^2a\right)=\sin4a\).
3. \(\cos4a=8\cos^4a-8\cos^2a+1\).
4. \(\cos4a-4\cos2a+3=8\cos^4a\).