Cho hàm số \(y=x^4-8ax^3+6\left(a+2\right)x^2+4\). Tìm tất cả các giá trị của tham số \(a\) để hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực đại?
\(a>1\).\(a< -\dfrac{2}{3}\).\(-\dfrac{2}{3}\le a\le1\).\(-\dfrac{2}{3}\le a\le1;a=-2\).Hướng dẫn giải:\(y=x^4-8ax^3+6\left(a+2\right)x^2+4\)
\(y'=4x^3-24ax^2+12\left(a+2\right)x=4x\left[x^2-6ax+3\left(a+2\right)\right]\)
Tam thức \(\varphi\left(x\right)=x^2-6ax+3\left(a+2\right)\) có \(\Delta'=9a^2-3a-6\).
- Nếu \(\Delta'< 0\) thì \(\varphi\left(x\right)>0,\forall x\Rightarrow y'\) luôn cùng dấu với \(4x\Rightarrow y'\) đổi dấu từ âm sang dương tại \(x=0\Rightarrow\) hàm số chỉ có một điểm cực tiểu là \(x=0\).
- Nếu \(\Delta'=0\Leftrightarrow a=1;a=-\dfrac{2}{3}\) thì \(\varphi\left(x\right)\) có nghiệm kép khác 0, suy ra \(y'\) luôn cùng dấu với \(4x,\) hàm số chỉ có một điểm cực tiểu duy nhất là \(x=0.\)
- Nếu \(\Delta'>0\Leftrightarrow a< -\dfrac{2}{3};a>1\) thì \(\varphi\left(x\right)\) có 2 nghiệm phân biệt và có 2 khả năng:
+ Nếu \(a=-2\) thì \(\varphi\left(x\right)=x^2+12x\Rightarrow y'=4x^2\left(x+3\right)\) luôn cùng dấu với nhị thức \(x+3,\) đổi dấu một lần duy nhất từ âm sang dương tại \(x=-3\) nên hàm số đã cho có một điểm cực tiểu duy nhất là \(x=-3.\)
+ Nếu \(a< -2;-2< a< -\dfrac{2}{3};a>1\) thì \(\varphi\left(x\right)\) có 2 nghiệm phân biệt khác 0, \(y'\) có 3 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2,x_3\left(x_1< x_2< x_3\right)\), \(y'\) đổi dấu 3 lần tại 3 nghiệm này và hàm số đã cho có 2 điểm cực tiểu \(\left(x_1,x_3\right)\) và một điểm cực đại \(\left(x_2\right)\).
Đáp số: \(-\dfrac{2}{3}\le a\le1;a=-2\).
