Bài 4. Đồ thị của hàm số bậc nhất y=ax+b(a khác 0)

I. Đồ thị của hàm số bậc nhất

Đồ thị của hàm số y = ax + b (a khác 0) là một đường thẳng.

Chú ý: Đồ thị của hàm số y = ax + b (a khác 0) còn gọi là đường thẳng y = ax + b (a khác 0).

Ví dụ 1: Cho hàm số y = 2x - 2. Tìm điểm thuộc đồ thị của hàm số có hoành độ bằng 0.

Hướng dẫn giải

Với x = 0 thì y = 2.0 - 2 = -2.

Vậy điểm có hoành độ bằng 0 thuộc đồ thị của hàm số y = 2x - 2 là (0; -2).

Nhận xét: Đồ thị của hàm số \(y=ax+b\;(a\ne0)\) là một đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b.

II. Vẽ đồ thị của hàm số bậc nhất

Ta đã biết đồ thị của hàm số \(y=ax+b\;(a\ne0)\) là một đường thẳng. Do đó, để vẽ đồ thị của hàm số y = ax + b, ta chỉ cần xác định được hai điểm phân biệt bất kì thuộc đồ thị rồi vẽ đường thẳng đi qua hai điểm đó.

Trong thực hành, ta thường xác định hai điểm đặc biệt thuộc đồ thị của hàm số \(y=ax+b\;(a\ne0)\) trong hai trường hợp sau đây.

a) Trường hợp 1: Xét hàm số y = ax \(\bf{(a\ne 0)}\)

Với x = 0 thì y = 0; 

Với x = 1 thì y = a nên hai điểm O(0;0) và A(1;a) thuộc đồ thị hàm số y = ax \((a\ne 0)\).

Để vẽ đồ thị của hàm số y = ax \((a\ne 0)\) ta có thể xác định điểm A(1;a) rồi vẽ đường thẳng đi qua hai điểm O và A.

Ví dụ 2: Vẽ đồ thị của hàm số y = 2x.

Hướng dẫn giải

Với x = 1 thì y = 2 ta được điểm A(1;2) thuộc đồ thị của hàm số y = 2x.

Vậy đồ thị của hàm số y = 2x là đường thẳng đi qua hai điểm O(0;0) và A(1;2).

b) Trường hợp 2: Xét hàm số y = ax + b \(\bf{(a\ne 0,\;b\ne 0)}\)

+ Với x = 0 thì y = b, ta được điểm P(0;b) thuộc trục Oy.

+ Với y = 0 thì \(x=\dfrac{-b}{a}\) ta được điểm \(Q(\dfrac{-b}{a};0)\) thuộc trục hoành.

Do đó, đồ thị của hàm số y = ax + b \((a\ne 0,\;b\ne 0)\) là đường thẳng đi qua hai điểm P(0;b) và \(Q(\dfrac{-b}{a};0)\).

Để vẽ đồ thị của hàm số y = ax + b \((a\ne 0,\;b\ne 0)\) ta có thể xác định hai điểm P(0;b) và \(Q(\dfrac{-b}{a};0)\) rồi vẽ đường thẳng đi qua hai điểm đó.

Ví dụ 3: Vẽ đồ thị của hàm số y = 2x - 2.

Hướng dẫn giải

Với x = 0 thì y = -2 ta được điểm P(0;-2) thuộc đồ thị của hàm số y = 2x - 2.

Với y = 0 thì x = 1 ta được điểm Q(1;0) thuộc đồ thị của hàm số y = 2x - 2.

Vậy đồ thị của hàm số y = 2x - 2 là đường thẳng đi qua hai điểm P(0;2) và Q(1;0).

III. Hệ số góc của đường thẳng \(\bf{y=ax+ b\;(a\ne 0).}\)

1. Góc tạo bởi đường thẳng \(\bf{y=ax+ b\;(a\ne 0)}\) với trục Ox

Nhận xét: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng \(y=ax+ b\;(a\ne 0).\) Gọi A là giao điểm của đường thẳng y = ax + b là trục Ox, T là một điểm thuộc đường thẳng y = ax + b và có tung độ dương.

Góc \(\alpha\) tạo bởi hai tia Ax và AT gọi là góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox (hoặc nói đường thẳng y = ax + b tạo với trục Ox một góc \(\alpha\)).

2. Hệ số góc

Nhận xét:

+ Khi hệ số a > 0 thì góc tạo bởi đường thẳng \(y=ax+ b\;(a\ne 0)\) và trục Ox là góc nhọn. Hệ số a càng lớn thì góc càng lớn.

+ Khi hệ số a < 0 thì góc tạo bởi đường thẳng \(y=ax+ b\;(a\ne 0)\) và trục Ox là góc tù. Hệ số a càng lớn thì góc càng lớn.

Ta có định nghĩa

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng \(y=ax+ b\;(a\ne 0)\). Hệ số a gọi là hệ số góc của đường thẳng \(y=ax+ b\;(a\ne 0)\).

Ví dụ 4: Hệ số góc của đường thẳng y = 2x - 2 là a = 2.

3. Ứng dụng của hệ số góc

Cho hai đường thẳng d: \(y=ax+ b\;(a\ne 0)\) và đường thẳng d': \(y'=a'x+ b'\;(a\ne 0)\).

a) Nếu d song song với d' thì a = a' và \(b\ne b'\). Ngược lại nếu a = a' và \(b\ne b'\) thì d song song với d'.

b) Nếu d trùng với d' thì a = a' và b = b'. Ngược lại nếu a = a' và b = b' thì d trùng với d'.

c) Nếu d và d' cắt nhau thì \(a\ne a'\). Ngược lại nếu \(a\ne a'\) thì d và d' cắt nhau.

Ví dụ 5: Cho các đường thẳng y = 2x - 2; y = 2x + 3 và y = 3x + 2. 

Chỉ ra các cặp đường thẳng song song và cắt nhau.

Hướng dẫn giải

Hai đường thẳng y = 2x - 2 và y = 2x + 3 có hệ số góc bằng nhau và hệ số tự do khác nhau nên hai đường thẳng đó song song.

Hai đường thẳng y = 2x - 2 và y = 3x + 2 có hệ số góc khác nhau nên hai đường thẳng đó cắt nhau.

Hai đường thẳng y = 2x + 3 và y = 3x + 2 có hệ số góc khác nhau nên hai đường thẳng đó cắt nhau.