Bài 3: Vận tốc, gia tốc trong dao động điều hoà

I. VẬN TỐC CỦA VẬT DAO ĐỘNG ĐIỀU HOÀ

Như đã biết, vận tốc tức thời của một vật được xác định bằng công thức:

\(v=\dfrac{\Delta x}{\Delta t}\)(với \(\Delta t\) rất nhỏ), tức là bằng độ dốc của đồ thị (x - t) tại điểm đang xét.

Để đơn giản, ta hãy xét một vật dao động điều hoà có đồ thị (x - t) được chỉ trên Hình 3.1. Ta nhận thấy độ dốc của đồ thị, tức vận tốc của vật, có giá trị cực đại khi ở vị trí cân bằng rồi giảm dần đến 0 khi vật ra đến vị trí biên. Sau đó độ dốc của đồ thị lại tăng dần đến giá trị cực đại khi vật về đến vị trí cân bằng.

1. Phương trình của vận tốc

Khi học phép tính đạo hàm chúng ta sẽ biết \(v=\dfrac{\Delta x}{\Delta t}\)(với \(\Delta t\) rất nhỏ) chính là đạo hàm của li độ x theo thời gian, kí hiệu là x'.

\(x=Acos\left(\omega t+\varphi\right)\)

\(v=x'=-\omega Asin\left(\omega t+\varphi\right)\)                                                             (3.1)

Công thức (3.1) là phương trình của vận tốc, có thể biến đổi như sau:

\(v=\omega A\sqrt{1-cos^2\left(\omega t+\varphi\right)}\)

Thay \(x=Acos\left(\omega t+\varphi\right)\) vào ta được:

\(v=\pm\omega\sqrt{A^2-x^2}\)

• Khi vật ở vị trí cân bằng thì \(v=\pm\omega A\).
• Khi vật ở vị trí biên thì \(v=0\)

2. Đồ thị của vận tốc

Hình 3.2 là đồ thị của vận tốc của một dao động điều hoà với \(\varphi=0\). Nó cũng là một đường hình sin.

II. GIA TỐC CỦA VẬT DAO ĐỘNG ĐIỀU HOÀ

Tương tự như vận tốc, gia tốc tức thời của một vật được xác định bằng công thức: \(a=\dfrac{\Delta v}{\Delta t}\) (với \(\Delta t\) rất nhỏ), tức là bằng độ dốc của đồ thị vận tốc tại điểm đang xét. Ta nhận thấy độ dốc của đồ thị Hình 3.2, hay gia tốc của vật, có giá trị bằng 0 khi vật ở vị trí cân bằng, rồi tăng đến giá trị cực đại khi vật ở vị trí biên.

1. Phương trình của gia tốc

Như vậy, gia tốc tức thời của một vật là đạo hàm của vận tốc theo thời gian, kí hiệu là v'. 

\(a=v'=-\omega^2Acos\left(\omega t+\varphi\right)\)   (3.3)

Công thức 3.3 là phương trình của gia tốc.

Thay \(x=Acos\left(\omega t+\varphi\right)\) vào (3.3) ta được:

\(a=-\omega^2x\)     (3.4)

Từ công thức (3.4) ta thấy: 

• Khi vật ở vị trí cân bằng \(a=0\).
• Khi vật ở vị trí biên gia tốc có giá trị \(a=\pm\omega^2A\).

2. Đồ thị của gia tốc

Hình 3.3 là đồ thị của gia tốc (với \(\varphi=0\)), nó cũng là một đường hình sin như li độ và vận tốc.