Nội dung lý thuyết
Muốn cộng hai phân thức cùng mẫu, ta cộng các tử và giữ nguyên mẫu:
\(\dfrac{A}{M}+\dfrac{B}{M}=\dfrac{A+B}{M}\)
Chú ý: Kết quả của phép cộng hai phân thức được gọi là tổng. Ta thường viết tổng này dưới dạng rút gọn.
Ví dụ 1: Thực hiện phép tính \(\dfrac{x+1}{x-2}+\dfrac{5-x}{x-2}\).
Hướng dẫn giải
\(\dfrac{x+1}{x-2}+\dfrac{5-x}{x-2}=\dfrac{(x+1)+(5-x)}{x-2}=\dfrac{x+1+5-x}{x-2}=\dfrac{6}{x-2}.\)
Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
Ví dụ 2: Thực hiện phép tính \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{3}{x-1}\).
Hướng dẫn giải
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{3}{x-1}=\dfrac{x-1}{x(x-1)}+\dfrac{3x}{x(x-1)}\\ =\dfrac{x-1+3x}{x-1}=\dfrac{4x-1}{x-1}.\)
Giống như phép cộng phân số, phép cộng phân thức cũng có các tính chất: giao hoán, kết hợp, cộng với số 0.
Ví dụ 3: Tính hợp lí \(\dfrac{3}{2}+\dfrac{2x-3a}{2a}+\dfrac{1}{2}\).
Hướng dẫn giải
\(\dfrac{3}{2}+\dfrac{2x-3a}{2a}+\dfrac{1}{2}\\ =\Big(\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}\Big)+\dfrac{2x-3a}{2a}\\ =2+\dfrac{2x-3a}{3a}\\ =\dfrac{6a+2x-3a}{2x-3a}\\ =\dfrac{2x+3a}{2x-3a}. \)
Muốn trừ hai phân thức cùng mẫu, ta trừ tử của phân thức bị trừ cho tử của phân thứ trừ và giữ nguyên mẫu
\(\dfrac{A}{M}-\dfrac{B}{M}=\dfrac{A-B}{M}\).
Muốn trừ hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi trừ các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.
Chú ý: Kết quả của phép trừ hai phân thức được gọi là hiệu. Ta thường viết hiệu này dưới dạng rút gọn.
Ví dụ 4: Thực hiện các phép tính sau
a) \(\dfrac{x-2y}{x+y}-\dfrac{2x+y}{x+y}\); b) \(\dfrac{5x}{x-y}-\dfrac{y}{x+y}\).
Hướng dẫn giải
a)
\(\dfrac{x-2y}{x+y}-\dfrac{2x+y}{x+y}=\dfrac{(x-2y)-(2x+y)}{x+y}\\ =\dfrac{x-2y-2x-y}{x+y}\\ =\dfrac{-x-3y}{x+y}.\)
b)
\(\dfrac{5x}{x-y}-\dfrac{y}{x+y}\\ =\dfrac{5x(x+y)}{(x-y)(x+y)}-\dfrac{y(x-y)}{(x-y)(x+y)}\\ =\dfrac{5x^2+5xy}{x^2-y^2}-\dfrac{xy-y^2}{x^2-y^2}\\ =\dfrac{(5x^2+5xy)-(xy-y^2)}{x^2-y^2}\\ =\dfrac{5x^2+5xy-xy+y^2}{x^2-y^2}\\ =\dfrac{5x^2+4xy+y^2}{x^2-y^2}.\)
Cũng giống nhau phân số, mỗi phân thức đều có phân thức đối sao cho tổng của hai phân thức bằng 0.
Nhận xét:
+ Phân thức đối của phân thức \(\dfrac{A}{B}\) kí hiệu là \(\dfrac{-A}{B}\).
Ta có \(\dfrac{A}{B}+\dfrac{-A}{B}=0\).
+ Ta có \(-\dfrac{A}{B}=\dfrac{-A}{B}=\dfrac{A}{-B}.\)
+ Phân thức đối của phân thức \(\dfrac{-A}{B}\) kí hiệu là \(\dfrac{A}{B}\), tức là \(-\Big(\dfrac{-A}{B}\Big)=\dfrac{A}{B}.\)
Nhận xét: Muốn trừ phân thức \(\dfrac{A}{B}\) cho phân thức \(\dfrac{C}{D}\), ta có thể cộng \(\dfrac{A}{B}\) với phân thức đối của phân thức \(\dfrac{C}{D}\), tức là
\(\dfrac{A}{B}-\dfrac{C}{D}=\dfrac{A}{B}+\Big(\dfrac{-C}{D}\Big).\)
Ví dụ 5: Thực hiện phép tính \(\dfrac{3}{x-y}-\dfrac{1}{y-x}\).
Hướng dẫn giải
\(\dfrac{3}{x-y}-\dfrac{1}{y-x}\\ =\dfrac{3}{x-y}+\Big(\dfrac{-1}{y-x}\Big)\\ =\dfrac{3}{x-y}+\dfrac{1}{x-y}\\ \)
\(=\dfrac{4}{x-y}.\)