Bài 2. Phép cộng, phép trừ phân thức đại số

Hướng dẫn giải

\(\begin{array}{l}a)\dfrac{{4{\rm{x}} + 2}}{{4{\rm{x  -  4}}}} + \dfrac{{3 - 6{\rm{x}}}}{{6{\rm{x}} - 6}} = \dfrac{{2\left( {2x + 1} \right)}}{{4\left( {x - 1} \right)}} + \dfrac{{3\left( {1 - 2x} \right)}}{{6\left( {x - 1} \right)}}\\ = \dfrac{{2x + 1}}{{2\left( {x - 1} \right)}} + \dfrac{{1 - 2x}}{{2\left( {x - 1} \right)}} = \dfrac{{2x + 1 + 1 - 2x}}{{2\left( {x - 1} \right)}} = \dfrac{2}{{2\left( {x - 1} \right)}} = \dfrac{1}{{x - 1}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}b)\dfrac{y}{{2{{\rm{x}}^2} - xy}} + \dfrac{{4{\rm{x}}}}{{{y^2} - 2{\rm{x}}y}} = \dfrac{y}{{x\left( {2{\rm{x}} - y} \right)}} + \dfrac{{4{\rm{x}}}}{{y\left( {y - 2{\rm{x}}} \right)}}\\ = \dfrac{y}{{x\left( {2{\rm{x}} - y} \right)}} - \dfrac{{4{\rm{x}}}}{{y\left( {2{\rm{x}} - y} \right)}} = \dfrac{{{y^2}}}{{xy\left( {2{\rm{x}} - y} \right)}} - \dfrac{{4{{\rm{x}}^2}}}{{xy\left( {2{\rm{x}} - y} \right)}}\\ = \dfrac{{{y^2} - 4{{\rm{x}}^2}}}{{xy\left( {2{\rm{x}} - y} \right)}} = \dfrac{{\left( {y - 2{\rm{x}}} \right)\left( {y + 2{\rm{x}}} \right)}}{{ - xy\left( {y - 2{\rm{x}}} \right)}} = \dfrac{{ - \left( {y + 2{\rm{x}}} \right)}}{{xy}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}c)\dfrac{x}{{x - y}} + \dfrac{y}{{x + y}} + \dfrac{{2{y^2}}}{{{x^2} - {y^2}}}\\ = \dfrac{x}{{x - y}} + \dfrac{y}{{x + y}} + \dfrac{{2{y^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}}\\ = \dfrac{{x\left( {x + y} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} + \dfrac{{y\left( {x - y} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} + \dfrac{{2{y^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}}\\ = \dfrac{{{x^2} + xy + {\rm{yx}} - {y^2} + 2{y^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} = \dfrac{{{x^2} + 2{\rm{x}}y + {y^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} = \dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} = \dfrac{{x + y}}{{x - y}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}d)\dfrac{{x{}^2 + 2}}{{{x^3} - 1}} + \dfrac{x}{{{x^2} + x + 1}} + \dfrac{1}{{1 - x}}\\ = \dfrac{{x{}^2 + 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} + \dfrac{x}{{{x^2} + x + 1}} - \dfrac{1}{{x - 1}}\\ = \dfrac{{x{}^2 + 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} + \dfrac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} - \dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\\ = \dfrac{{{x^2} + 2 + {x^2} - x - {x^2} - x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \dfrac{{{x^2} - 2{\rm{x}} + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \dfrac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \dfrac{{x - 1}}{{{x^2} + x + 1}}\end{array}\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a)

\(\frac{1}{{x - 2}} - \frac{1}{{x + 1}} = \frac{{x + 1}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right)}} - \frac{{x - 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)

\(= \frac{{x + 1 - x + 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{3}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)

b)

\(\begin{array}{l}\frac{{12}}{{{x^2} - 9}} - \frac{2}{{x - 3}} = \frac{{12}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} - \frac{2}{{x - 3}}\\ = \frac{{12}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} - \frac{{2\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{12 - 2{\rm{x}} - 6}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\\ = \frac{{6 - 2{\rm{x}}}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{ - 2\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{ - 2}}{{x + 3}}\end{array}\)

c)

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{xy - {x^2}}} - \frac{1}{{{y^2} - xy}} = \frac{1}{{x\left( {y - x} \right)}} - \frac{1}{{y\left( {y - x} \right)}}\\ = \frac{y}{{xy\left( {y - x} \right)}} - \frac{x}{{xy\left( {y - x} \right)}} = \frac{{y - x}}{{xy\left( {y - x} \right)}} = \frac{1}{{xy}}\end{array}\)

d)

 \(\begin{array}{l}\frac{{2{\rm{x}}}}{{{x^2} - 1}} - \frac{3}{{2 + 2{\rm{x}}}} + \frac{1}{{2 - 2{\rm{x}}}}\\ = \frac{{2{\rm{x}}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - \frac{3}{{2\left( {x + 1} \right)}} - \frac{1}{{2{\rm{x}} - 2}}\\ = \frac{{2{\rm{x}}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - \frac{{3\left( {x - 1} \right)}}{{2\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} - \frac{1}{{2\left( {x - 1} \right)}}\\ = \frac{{{\rm{4x}}}}{{2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - \frac{{3\left( {x - 1} \right)}}{{2\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} - \frac{{1\left( {x + 1} \right)}}{{2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\\ = \frac{{{\rm{4x}} - 3{\rm{x}} + 3 - x - 1}}{{2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{2}{{2\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\end{array}\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) \(\begin{array}{l}A = \dfrac{{2{{\rm{x}}^2} + 1}}{{{x^3} + 1}} + \dfrac{{1 - x}}{{{x^2} - x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 1}}\\A = \dfrac{{2{{\rm{x}}^2} + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} + \dfrac{{\left( {1 - x} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} - \dfrac{{{x^2} - x + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}\\ = \dfrac{{2{{\rm{x}}^2} + 1 + 1 - {x^2} - {x^2} + x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} = \dfrac{{1 + x}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} = \dfrac{1}{{{x^2} - x + 1}}\end{array}\)

b) Với x = -3 ta thay vào biểu thức A đã rút gọn ta được:

\(A = \dfrac{1}{{{{\left( { - 3} \right)}^2} - \left( { - 3} \right) + 1}} = \dfrac{1}{{9 + 3 + 1}} = \dfrac{1}{{13}}\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Số sản phẩm xí nghiệp làm trong một ngày theo dự định là: \(\dfrac{{10000}}{x}\) (sản phẩm)

b) Tổng số sản phẩm xí nghiệp làm trong thực tế là: 10000 + 80 = 10080 (sản phẩm)

Tổng số ngày xí nghiệp làm trong thực tế là: x – 1 (ngày)

Số sản phẩm xí nghiệp làm trong một ngày theo thực tế là: \(\dfrac{{10080}}{{x - 1}}\) (sản phẩm)

c) Số sản phẩm xí nghiệp làm trong 1 ngày theo thực tế nhiều hơn số sản phẩm xí nghiệp làm trong một ngày theo dự định là: \(\dfrac{{10080}}{{x - 1}} - \dfrac{{10000}}{x} = \dfrac{{80{\rm{x}} + 10000}}{{x\left( {x - 1} \right)}}\) (sản phẩm)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

a) Phần bể vòi 1 chảy một mình trong 1 giờ là: \(\dfrac{1}{x}\)

Phần bể vòi 2 chảy một mình trong 1 giờ là: \(\dfrac{1}{{x + 2}}\)

b) Phần bể mà cả hai vòi chảy trong 1 giờ là: \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{x + 2}}\)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Số cây chi đoàn dự định trồng là: 120 cây

Số đoàn viên ban đầu là: x (người)

Số đoàn viên thực tế là: x + 3 (người)

a) Số cây mỗi đoàn viên trồng theo dự định là: \(\dfrac{{120}}{x}\) (cây)

b) Số cây mỗi đoàn viên trồng theo thực tế là: \(\dfrac{{120}}{{x + 3}}\) (cây)

c) Số cây mỗi đoàn viên trồng theo dự định nhiều hơn số cây mỗi đoàn viên trồng theo thực tế là;

\(\dfrac{{120}}{x} - \dfrac{{120}}{{x + 3}} = \dfrac{{360}}{{x\left( {x + 3} \right)}}\) (cây)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)

Hướng dẫn giải

Con lợn thứ nhất ăn 3 ngày ăn hết 1 bao thức ăn

Suy ra một ngày con lợn thứ nhất ăn hết \(\dfrac{1}{3}\) bao thức ăn

Con lợn thứ hai ăn 6 ngày ăn hết 1 bao thức ăn

Suy ra một ngày con lợn thứ hai ăn hết \(\dfrac{1}{6}\) bao thức ăn

Con lợn thứ ba ăn 4 ngày ăn hết 1 bao thức ăn

Suy ra một ngày con lợn thứ ba ăn hết \(\dfrac{1}{4}\) bao thức ăn

Một ngày ba con lợn ăn hết: \(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}\) (bao thức ăn)

Cả ba con lợn trong x (ngày) cần số bao thức ăn là: \(\dfrac{3}{4}x\) (bao thức ăn)

(Trả lời bởi Hà Quang Minh)