x1+x2=2m+2; x1x2=m^2+4

x1^2+2(m+1)x2<=2m^2+20

=>x1^2+x2(x1+x2)<=2m^2+20

=>x1^2+x2x1+x2^2<=2m^2+20

=>(x1+x2)^2-x1x2<=2m^2+20

=>(2m+2)^2-(m^2+4)<=2m^2+20

=>4m^2+8m+4-m^2-4-2m^2-20<=0

=>m^2-8m-20<=0

=>m<=-10 hoặc m>2

\(x^2-2\left(m+1\right)x+m^2+4=0\left(1\right)\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta'>0\) hay \(\Delta'=\left(m+1\right)^2-m^2-4=m^2+2m+1-m^2-4=2m-4>0\Leftrightarrow m>2\)

Theo hệ thức Viét ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1.x_2=m^2+4\end{matrix}\right.\)

Vì \(x_1^2\) là nghiệm của phương trình (1) nên ta có : \(x_1^2-2\left(m+1\right)x+m^2+4=0\Leftrightarrow x_1^2=2\left(m+1\right)x_1-m^2-4\)

Ta lại có : \(x_1^2+2\left(m+1\right)x_2\le2m^2+20\)

\(\Leftrightarrow2\left(m+1\right)x_1-m^2-4+2\left(m+1\right)x_2\le2m^2+20\)

\(\Leftrightarrow2\left(m+1\right)\left(x_1+x_2\right)-m^2-4\le2m^2+20\)

\(\Leftrightarrow4\left(m+1\right)^2-m^2\le2m^2+20\)

\(\Leftrightarrow4\left(m^2+2m+1\right)-m^2\le2m^2+20\)

\(\Leftrightarrow m^2+8m-16\le0\)

\(\Leftrightarrow-10\le m\le2\)

Kết hợp điều kiện....

Đáp án: B

\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-2m-10=m^2-9\ge0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ge3\\m\le-3\end{matrix}\right.\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=2m+10\end{matrix}\right.\)

a.

\(P=x_1^2+x_2^2+6x_1x_2=\left(x_1+x_2\right)^2+4x_1x_2\)

\(P=4\left(m+1\right)^2+4\left(2m+10\right)\)

\(P=4m^2+16m+44=\left(4m^2+16m+12\right)+32\)

\(P=4\left(m+1\right)\left(m+3\right)+32\ge32\)

\(P_{min}=32\) khi \(m=-3\)

b.

Theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+2\\x_1x_2=2m+10\end{matrix}\right.\)

Trừ vế cho vế:

\(x_1+x_2-x_1x_2=-8\)

Đây là hệ thức liên hệ 2 nghiệm ko phụ thuộc m

Phương trình có hai nghiệm

B = 2 ( x 1 2 + x 2 2 ) + 16 − 3 x 1 x 2

= 2 ( x 1 + x 2 ) 2 − 4 x 1 x 2 + 16 − 3 x 1 x 2 = 2 ( 2 m + 2 ) 2 − 4 ( m 2 + 2 ) + 16 − 3 ( m 2 + 2 ) = 4 m 2 + 16 m + 16 − 3 ( m 2 + 2 ) = 2 m + 4 − 3 ( m 2 + 2 ) = − 3 m 2 + 2 m − 2

Xét hàm số y = − 3 m 2 + 2 m − 2 với  m ≥ 1 2

Bảng biến thiên

Suy ra giá trị m a x m ≥ 1 2 y = − 7 4  khi  m = 1 2

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức B là - 7 4 khi  m = 1 2

Đáp án cần chọn là: B

PT x 2 − 2 m + 1 x + m 2 − 1 = 0     ( 1 ) có 2 nghiệm phân biệt x 1 , x 2

Theo Vi-et ta có:  x 1 + x 2 = 2 m + 1 x 1 x 2 = m 2 − 1

Ta có:  x 1 2 + x 2 2 + 8 x 1 x 2 = x 1 + x 2 2 + 6 x 1 x 2 = 2 m + 1 2 + 6 m 2 − 1

= 10 m 2 + 2 5 m + 1 25 − 27 5 = 10 m + 1 5 2 − 27 5

⇒ x 1 2 + x 2 2 + 8 x 1 x 2 ≥ − 27 5

Dấu ‘=’ xảy ra khi m = − 1 5 (thỏa mãn (*))

Vậy x 1 2 + x 2 2 + 8 x 1 x 2 đạt giá trị nhỏ nhất khi  m = − 1 5

Đáp án cần chọn là: C

Lời giải:

Để PT có 2 nghiệm $x_1,x_2$ thì:

$\Delta'=(m+1)^2-(m^2-1)>0\Leftrightarrow 2m+2>0\Leftrightarrow m>-1$

Áp dụng định lý Viet:

$x_1+x_2=2(m+1)$ và $x_1x_2=m^2-1$

Khi đó, để $x_1^2+x_2^2=x_1x_2+8$

$\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=x_1x_2+8$

$\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2=3x_1x_2+8$

$\Leftrightarrow 4(m+1)^2=3(m^2-1)+8$

$\Leftrightarrow m^2+8m-1=0$

$\Leftrightarrow m=-4\pm \sqrt{17}$. Vì $m>-1$ nên $m=-4+\sqrt{17}$

\(\Delta=\left(m+1\right)^2-4.1.2=\left(m+1\right)^2-8\)

Để PT có 2 nghiệm thì:

\(\Delta\ge0\Leftrightarrow\left(m+1\right)^2-8\ge0\\ \Leftrightarrow\left(m+1\right)^2\ge8\)

Theo vi ét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\left(m+1\right)\\x_1x_2=2\end{matrix}\right.\)

\(x_1^2+x_2^2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-2x_1x_2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\)

\(=\left(m+1\right)^2-2.2=\left(m+1\right)^2-4\)

Mà \(\left(m+1\right)^2\ge8\) nên \(\left(m+1\right)^2-4\ge4\)

\(\Rightarrow min_{x_1^2+x_2^2}=4\) (dấu bằng xảy ra)

\(\Leftrightarrow\left(m+1\right)^2=8\)

\(\Leftrightarrow m^2+2m+1=8\\\Leftrightarrow m^2+2m-7=0 \)

\(\Leftrightarrow m=-1\pm2\sqrt{2}\)

\(\Delta=\left(m+1\right)^2-4\left(m^2-2m+2\right)=-3m^2+10m-7\ge0\)

\(\Rightarrow1\le m\le\dfrac{7}{3}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m+1\\x_1x_2=m^2-2m+2\end{matrix}\right.\)

\(P=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\)

\(=\left(m+1\right)^2-2\left(m^2-2m+2\right)\)

\(=-m^2+6m-3\)

\(=\left(-m^2+6m-\dfrac{77}{9}\right)+\dfrac{50}{9}\)

\(=\left(\dfrac{11}{3}-m\right)\left(m-\dfrac{7}{3}\right)+\dfrac{50}{9}\le\dfrac{50}{9}\)

\(P_{max}=\dfrac{50}{9}\) khi \(m=\dfrac{7}{3}\)

PT $(*)$ là PT bậc nhất ẩn $x$ thì làm sao mà có $x_1,x_2$ được hả bạn?

PT cuối cũng bị lỗi.

Bạn xem lại đề!

Lời giải:

a) 

Ta có: $\Delta'=m^2-(2m-2)=m^2-2m+2=(m-1)^2+1>0$ với mọi $m\in\mathbb{R}$

Do đó pt luôn có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ với mọi $m\in\mathbb{R}$

b) 

Áp dụng định lý Viet: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=-2m\\ x_1x_2=2m-2\end{matrix}\right.\)

Để $x_1^2+x_2^2-3x_1x_2=4$

$\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-5x_1x_2=4$

$\Leftrightarrow (-2m)^2-5(2m-2)=4$

$\Leftrightarrow 4m^2-10m+6=0$

$\Leftrightarrow 2m^2-5m+3=0$

$\Leftrightarrow (m-1)(2m-3)=0$

$\Rightarrow m=1$ hoặc $m=\frac{3}{2}$ (đều thỏa mãn)

a: \(\Delta=\left(2m+2\right)^2-4\left(m^2-2m-3\right)\)

\(=4m^2+8m+4-4m^2+8m+12\)

=16m+16

Để phương trình luôn có nghiệm thì 16m+16>=0

hay m>=-1

b: Theo đề, ta có: \(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2-x_1x_2=28\)

\(\Leftrightarrow\left(2m+2\right)^2-3\left(m^2-2m-3\right)=28\)

\(\Leftrightarrow4m^2+8m+4-3m^2+6m+9=28\)

\(\Leftrightarrow m^2+14m-15=0\)

=>(m+15)(m-1)=0

=>m=1