\(C'\left(x\right)=\left(\sqrt{5x^2+60}\right)'=\dfrac{\left(5x^2+60\right)'}{2\sqrt{5x^2+60}}\)

\(=\dfrac{10x}{2\sqrt{5x^2+60}}=\dfrac{5x}{\sqrt{5x^2+60}}\)

\(x'\left(t\right)=20\)

\(C'\left(t\right)=C'\left(x\right)\cdot x'\left(t\right)=\dfrac{100\left(2t+40\right)}{\sqrt{5\left(20t+40\right)^2+60}}\)

\(C'\left(4\right)=\dfrac{100\left(2\cdot4+40\right)}{\sqrt{5\left(80+40\right)^2+60}}\simeq44,7\)

a) \(\overline C \left( x \right) = \frac{{C\left( x \right)}}{x} = \frac{{50000 + 105x}}{x}\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \overline C \left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{50000 + 105x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{x\left( {\frac{{50000}}{x} + 105} \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\frac{{50000}}{x} + 105} \right) = 0 + 105 = 105\)

Vậy khi số sản phẩm càng lớn thì chi phí trung bình để sản xuất một sản phẩm tối đa 105 (nghìn đồng). 

a: Lợi nhuận thu về là: 20*5000-500=99500

b: Lợi nhuận là:

9000*8=72000(đồng)

Đặt 20n-500=72000

=>20n=72500

=>n=3625(sp)

Số đôi giày công ty sản xuất được trong tháng Hai là:

`4500 xx 3/5 = 2700` (đôi giày)

Đáp số: 2700 đôi giày.

Số đôi giày công ty đó sản xuất được trong tháng 2:

\(4500\times\dfrac{3}{5}=2700\) (đôi giày)

Đáp số: 2700 đôi giày 

a) Thay x=100 ta được:

\(y =  - {200.100^2} + 92000.100 - 8400000\)

\( =  - 1200000\)

Thay x=200 ta được:

\(\begin{array}{l}y =  - {200.200^2} + 92000.200 - 8400000\\ = 2000000\end{array}\)

Vậy với \(x = 100\) thì \(y =  - 1200000\)

Với \(x = 200\) thì \(y = 2000000\)

b) Với mỗi giá trị của x có 1 giá trị tương ứng của y.

Giá của sản phẩm sau khi tăng giá là: \(x + 50\)(nghìn đồng).

Số sản phẩm mà công ty bán được sau khi tăng giá là:

Vậy số sản phẩm mà công ty đã bán được theo x là \( - 5x + 300\) (sản phẩm).

Giá tiền mỗi sản phẩm sau khi tăng giá là \(2x + 30\)(nghìn đồng).

Sau khi tăng giá thì công ty có doanh thu là \(6{x^2} + 170x + 1200\)(nghìn đồng). Vậy số sản phẩm mà công ty đó đã bán được theo x là:

\((6{x^2} + 170x + 1200):(2x + 30) = 3x + 40\)(sản phẩm).

Xét dấu tam thức bậc hai tức là kiểm tra về dấu của tam thức bậc hai theo từng (khoảng) giá trị của ẩn.

Ta có \(a =  - 200 < 0,b = 92 000, c = 8400 000\)

\(\Delta ' = {(92000:2)}^2 - \left( { - 200} \right). 8400 000 = 436000000 > 0\)

\( \Rightarrow \)\(f\left( x \right)\) có 2 nghiệm \(x = 230 \pm 10\sqrt 109\). Khi đó:

\(f\left( x \right) < 0\) với mọi x thuộc các khoảng \(\left( { - \infty ; 230 - 10\sqrt 109} \right)\) và \(\left( {230 + 10\sqrt 109; + \infty } \right)\);

\(f\left( x \right) > 0\) với mọi x thuộc các khoảng \(\left( {230-10\sqrt 109; 230 + 10\sqrt 109} \right)\)

a) Với \(k = 0\), hàm số có dạng \(P\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4,5x}&{khi\,\,0 < x \le 400}\\{4x}&{khi\,\,x > 400}\end{array}} \right.\)

• Với mọi \({x_0} \in \left( {0;400} \right)\), ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} P\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {4,5x} \right) = 4,5\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x = 4,5{x_0} = P\left( {{x_0}} \right)\)

Vậy hàm số \(y = P\left( x \right)\) liên tục tại mọi điểm \({x_0} \in \left( {0;400} \right)\).

• Với mọi \({x_0} \in \left( {400; + \infty } \right)\), ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} P\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {4x} \right) = 4\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x = 4{x_0} = P\left( {{x_0}} \right)\)

Vậy hàm số \(y = P\left( x \right)\) liên tục tại mọi điểm \({x_0} \in \left( {400; + \infty } \right)\).

• \(f\left( {400} \right) = 4,5.400 = 1800\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ + }} P\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ + }} \left( {4x} \right) = 4\mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ + }} x = 4.400 = 1600\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ - }} P\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ - }} \left( {4,5x} \right) = 4,5.\mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ - }} x = 4,5.400 = 1800\).

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ + }} P\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ - }} {\rm{ }}P\left( x \right)\) nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 400} P\left( x \right)\).

Vậy hàm số không liên tục tại điểm \({x_0} = 400\).

Vậy hàm số \(y = f\left( x \right)\) không liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

b) Xét hàm số \(P\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4,5x}&{khi\,\,0 < x \le 400}\\{4x + k}&{khi\,\,x > 400}\end{array}} \right.\) (\(k\) là một hãng số)

Hàm số liên tục trên các khoảng \(\left( {0;400} \right)\) và \(\left( {400; + \infty } \right)\).

Ta có: \(f\left( {400} \right) = 4,5.400 = 1800\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ + }} P\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ + }} \left( {4x + k} \right) = 4\mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ + }} x + \mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ + }} k = 4.400 + k = 1600 + k\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ - }} P\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ - }} \left( {4,5x} \right) = 4,5.\mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ - }} x = 4,5.400 = 1800\).

Để hàm số \(y = P\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) thì hàm số \(y = P\left( x \right)\) phải liên tục tại điểm \({x_0} = 400\).

Để hàm số liên tục tại điểm \({x_0} = 400\) thì:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ + }} P\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ - }} P\left( x \right) = f\left( {400} \right) \Leftrightarrow 1600 + k = 1800 \Leftrightarrow k = 200\)

Vậy với \(k = 200\) thì hàm số \(P\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)