Tại một xưởng sản xuất bột đã thạch anh, giá bán (tính theo nghìn đồng) của \(x\) (kg) bột đã thạch anh được tính theo công thức sau:
\(P\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4,5x}&{khi\,\,0 < x \le 400}\\{4x + k}&{khi\,\,x > 400}\end{array}} \right.\) (\(k\) là một hãng số).
a) Với \(k = 0\), xét tính liên tục của hàm số \(P\left( x \right)\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
b) Với giá trị nào của \(k\) thì hàm số \(P\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)?
a) Với \(k = 0\), hàm số có dạng \(P\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4,5x}&{khi\,\,0 < x \le 400}\\{4x}&{khi\,\,x > 400}\end{array}} \right.\)
• Với mọi \({x_0} \in \left( {0;400} \right)\), ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} P\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {4,5x} \right) = 4,5\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x = 4,5{x_0} = P\left( {{x_0}} \right)\)
Vậy hàm số \(y = P\left( x \right)\) liên tục tại mọi điểm \({x_0} \in \left( {0;400} \right)\).
• Với mọi \({x_0} \in \left( {400; + \infty } \right)\), ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} P\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {4x} \right) = 4\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x = 4{x_0} = P\left( {{x_0}} \right)\)
Vậy hàm số \(y = P\left( x \right)\) liên tục tại mọi điểm \({x_0} \in \left( {400; + \infty } \right)\).
• \(f\left( {400} \right) = 4,5.400 = 1800\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ + }} P\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ + }} \left( {4x} \right) = 4\mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ + }} x = 4.400 = 1600\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ - }} P\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ - }} \left( {4,5x} \right) = 4,5.\mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ - }} x = 4,5.400 = 1800\).
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ + }} P\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ - }} {\rm{ }}P\left( x \right)\) nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 400} P\left( x \right)\).
Vậy hàm số không liên tục tại điểm \({x_0} = 400\).
Vậy hàm số \(y = f\left( x \right)\) không liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
b) Xét hàm số \(P\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4,5x}&{khi\,\,0 < x \le 400}\\{4x + k}&{khi\,\,x > 400}\end{array}} \right.\) (\(k\) là một hãng số)
Hàm số liên tục trên các khoảng \(\left( {0;400} \right)\) và \(\left( {400; + \infty } \right)\).
Ta có: \(f\left( {400} \right) = 4,5.400 = 1800\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ + }} P\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ + }} \left( {4x + k} \right) = 4\mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ + }} x + \mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ + }} k = 4.400 + k = 1600 + k\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ - }} P\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ - }} \left( {4,5x} \right) = 4,5.\mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ - }} x = 4,5.400 = 1800\).
Để hàm số \(y = P\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) thì hàm số \(y = P\left( x \right)\) phải liên tục tại điểm \({x_0} = 400\).
Để hàm số liên tục tại điểm \({x_0} = 400\) thì:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ + }} P\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ - }} P\left( x \right) = f\left( {400} \right) \Leftrightarrow 1600 + k = 1800 \Leftrightarrow k = 200\)
Vậy với \(k = 200\) thì hàm số \(P\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)
