Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác thì :
\(a^2+b^2+c^2-\left(a-b\right)^2-\left(b-c\right)^2-\left(c-a\right)^2\ge4\sqrt{3}S\)
trong đó S là diện tích của tam giác.
Cho S = \(\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\) với p là nửa chu vi (Công thức Hê rông)
Áp dụng bđt AM - GM, ta có:
\(4\sqrt{3}S=4\sqrt{3}\times\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\)
\(=4\sqrt{3}\times\dfrac{\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)}}{4}\)
\(\le\sqrt{3\left(a+b+c\right)}\times\sqrt{\dfrac{\left(a+b-c+b+c-a+c+a-b\right)^3}{27}}\)
\(=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
\(=\dfrac{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac}{3}\)
\(=\dfrac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(a^2-2ab+b^2\right)-\left(a^2-2ac+c^2\right)-\left(b^2-2bc+c^2\right)}{3}\)
\(=a^2+b^2+c^2-\dfrac{\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c (\(\Delta ABC\) đều)
Làm linh tinh đấy -.- hổng chắc đâu Ọ v Ọ
Còn một cách rất pá đạo nữa , không hiểu nổi lấy ý tưởng từ đâu luôn:
CM:\(a^2+b^2+c^2\ge4\sqrt{3}S\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-4\sqrt{3}S\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+a^2+b^2-2ab.\cos C-4\sqrt{3}.\dfrac{1}{2}.ab.\sin C\ge0\)( định lý cos + CT diện tích)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2-2ab\right)+4ab-4ab.\dfrac{1}{2}.\cos C-4ab.\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\sin C\ge0\)
\(\Leftrightarrow2\left(a-b\right)^2+4ab\left(1-\cos\dfrac{\pi}{3}.\cos C-\sin\dfrac{\pi}{3}.\sin C\right)\ge0\)
( \(\cos\dfrac{\pi}{3}=\cos60=\dfrac{1}{2}\);\(\sin\dfrac{\pi}{3}=\sin60=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\))
\(\Leftrightarrow2\left(a-b\right)^2+4ab\left[1-\cos\left(\dfrac{\pi}{3}-C\right)\right]\ge0\)( luôn đúng vì \(-1\le\cos\alpha\le1\))
( \(\cos\left(x-y\right)=\cos x\cos y+\sin x\sin y\))
Công thức Heron dùng để tính diện tích tam giác S=\(\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\), trong đó a, b, c là độ dài ba cạnh \(P=\dfrac{a+b+c}{2}\) là nữa chu vi tam giác. Bạn Như vẽ \(\Delta ABC\) có độ dài 3 cạnh AB=18cm; AC=9cm;BC=\(9\sqrt{7}\)cm. Hãy giúp bạn Như tính diện tích tam giác đó.
Cho a,b, c là 3 cạnh của 1 tam giác và p là nửa chu vi. Chứng minh rằng:
\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Áp dụng BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)với mọi x,y>0
Ta có: \(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}\ge\frac{4}{2p-a-b}=\frac{4}{c}\)
Tương tự \(\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge\frac{4}{a}\)
\(\frac{1}{p-c}+\frac{1}{p-a}\ge\frac{4}{b}\)
\(\Rightarrow2\left(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\right)\ge4\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Cho tam giác ABC có số đo 3 cạnh là a,b,c.
Chứng minh rằng:
a)Nếu tam giác ABC có góc A bằng 60 độ thì S(ABC)=\(\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot\left[a^2-\left(b-c\right)^2\right]\)
b)Nếu góc A bằng 120 độ thì sao?
Cho biết tam giác có các cạnh a,b,c thì diện tích S của nó được tính bởi công thức : \(S=\frac{1}{4}\sqrt{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2-2\left(a^4+b^4+c^4\right)}\).Tính diện tích tam giác khi :
a ) \(a=b=c\) b ) \(a^2=b^2+c^2\)
a ) Khi \(a=b=c\)
\(\Rightarrow S=\frac{1}{4}\sqrt{\left(3a^2\right)^2-6a^4}=\frac{1}{4}\sqrt{3a^4}\)
\(\Rightarrow S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\)
Vậy diện tích tam giác đều cạnh a là \(S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.\)
b ) Khi \(a^2=b^2+c^2\)
\(\Rightarrow S=\frac{1}{4}\sqrt{\left(2a^2\right)^2-2\left(a^4+b^4+c^4\right)}\)
\(\Rightarrow S=\frac{1}{4}\sqrt{2\left(a^4-b^4-c^4\right)}\)
Từ \(b^2+c^2=a^2\)
\(\Rightarrow b^4+c^4+2b^2c^2=a^4,\)ta tính ra :
\(S=\frac{1}{4}\sqrt{4b^2c^2}\) \(\Rightarrow S=\frac{2}{4}b.c\) \(\Rightarrow S=\frac{1}{2}bc\)
Vậy diện tích tam giác vuông thì bằng \(\frac{1}{2}\) tích 2 cạnh góc vuông .
Cho a, b, c là ba cạnh của tam giác , p là nửa chu vi tam giác đó. Chứng minh rằng
\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Lời giải
Theo đề bài thì \(p=\frac{a+b+c}{2}\Rightarrow p-a=\frac{a+b+c}{2}-a=\frac{b+c-a}{2}\)
Tương tự: \(p-b=\frac{c+a-b}{2};p-c=\frac{a+b-c}{2}\)
Ta cần c/m: \(\frac{2}{b+c-a}+\frac{2}{c+a-b}+\frac{2}{a+b-c}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Ta có: \(VT=\left(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\right)+\left(\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{a+b-c}\right)+\left(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\right)\)
\(\ge\frac{4}{2c}+\frac{4}{2a}+\frac{4}{2b}=2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^{\left(đpcm\right)}\)
Ta có:\(p-a=\frac{a+b+c}{2}-a=\frac{b+c-a}{2}\Leftrightarrow\frac{1}{p-a}=\frac{2}{b+c-a}\)
Tương tự ta có:
\(\frac{1}{p-b}=\frac{2}{a+c-b}\)
\(\frac{1}{p-c}=\frac{2}{a+b-c}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}=2\left(\frac{1}{a+c-b}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+b-c}\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng engel ta có:
\(\frac{1}{b+c-a}=\frac{\left(1+1-1\right)^2}{b+c-a}\ge\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{a}\)
Tương tự,ta có:
\(\frac{1}{a+b-c}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\)
\(\frac{1}{a+c-b}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{c}-\frac{1}{b}\)
Cộng vế theo vế ta được:
\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^{đpcm}\)
cho tam giác ABC có một cạnh bằng 60 cm và chu vi bằng 160cm . Tìm độ dài hai cạnh còn lại để tam giác ABC có diện tích lớn nhất(cho biết diện tích tam giác có độ dài ba cạnh là a,b,c có thể tính bằng công thức sau:
S=\(\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)_{ }}\);p=(a+b+c):2
a = 60cm
p = 160/2 = 80cm
p = \(\dfrac{a+b+c}{2}\) (1) => \(\dfrac{2p-a}{2}\) = \(\dfrac{b+c}{2}\)
Vì a, p là 1 hằng số nên để S đạt GTLN <=> (p-b) và (p-c) đạt GTLN
Áp dụng bđt Cosin, ta có:
\(\sqrt{\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\) <= \(\dfrac{p-b+p-c}{2}\) = \(\dfrac{2p-b-c}{2}\)
=> \(\dfrac{S}{\sqrt{p\left(p-a\right)}}\) <= \(p-\dfrac{b+c}{2}\) = \(p-\dfrac{2p-a}{2}\) = \(\dfrac{a}{2}\)
=> 2S <= \(a\sqrt{p\left(p-a\right)}\) = \(60\sqrt{80.\left(80-60\right)}\) = 2400
=> S <= 1200 (\(cm^2\))
Dấu "=" xảy ra
<=> \(p-b\) = \(p-c\)
<=> b = c
Thay b = c vào (1), ta được:
p = \(\dfrac{a+2b}{2}\) => 80 = \(\dfrac{60+2b}{2}\) => b = c = 50 (cm)
=> đpcm
Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác, p là nửa chu vi. Chứng minh:
\(\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)\le\dfrac{p^3}{27}\)
Bất đẳng thức cần cm tương đương:
\(\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^3}{27}\).
Mặt khác theo bđt AM - GM (Chú ý a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên a + b - c > 0; b + c - a > 0; c + a - b > 0) ta có:
\(\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\le\dfrac{\left(a+b-c+b+c-a+c+a-b\right)^3}{27}=\dfrac{\left(a+b+c\right)^3}{27}\).
Vậy ta có đpcm.
Vì bạn không hiểu nên mình làm lại:
Thay \(p=\dfrac{a+b+c}{2}\) vào bất đẳng thức cần chứng minh ta có:
\(\left(\dfrac{a+b+c}{2}-a\right)\left(\dfrac{a+b+c}{2}-b\right)\left(\dfrac{a+b+c}{2}-c\right)\le\dfrac{\left(\dfrac{a+b+c}{2}\right)^3}{27}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)}{8}\le\dfrac{\dfrac{\left(a+b+c\right)^3}{8}}{27}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^3}{27}\).
Đến đây bạn làm tiếp như lúc nãy.
Cho \(\Delta ABC\) có BC = a , AC = b , AB = c, diện tích S . Chứng minh rằng \(S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\) với p là nửa chu vi tam giác
Gợi ý : công thức Hê - rông
chuyên đề là tính các đại lượng hình học bằng cách lập phương trình nhé
hình, CH=x . Mọi người giải giúp mình với mình sắp học rùi
gu gồ k tính phí:
Công thức Heron – Wikipedia tiếng Việt;
Giúp mình chứng minh công thức tính diện tích tam giác với mọi người ơi !? | Yahoo Hỏi & Đáp;
Toán - Chứng minh công thức Hê - rông | Diễn đàn HOCMAI - Cộng đồng học tập lớn nhất Việt Nam;
https://diendantoanhoc.net/topic/46975-cach-cm-cong-he-rong/;
Công thức Hê-rông với THCS - Toán học - Nguyễn Bá Tuấn - Thư viện Giáo án điện tử
bla..bla
P/s: Sớt gu gồ ra liền mà '-'
