\(\dfrac{4}{x}-\dfrac{y}{2}=\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow\dfrac{8-xy}{2x}=\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow\dfrac{16-2xy}{4x}=\dfrac{x}{4x}\)

\(\Rightarrow16-2xy=x\Leftrightarrow x+2xy=16\Leftrightarrow x\left(1+2y\right)=16\)

\(\Rightarrow x;1+2y\inƯ\left(16\right)=\left\{\pm1;\pm2;\pm4;\pm8;\pm16\right\}\)

a) Để y nguyên thì \(6x-4⋮2x+3\)

\(\Leftrightarrow-13⋮2x+3\)

\(\Leftrightarrow2x+3\in\left\{1;-1;13;-13\right\}\)

\(\Leftrightarrow2x\in\left\{-2;-4;10;-16\right\}\)

hay \(x\in\left\{-1;-2;5;-8\right\}\)

Lời giải:

$\frac{5}{x}-\frac{y}{3}=\frac{1}{6}$

$\Rightarrow \frac{15-xy}{3x}=\frac{1}{6}$

$\Rightarrow \frac{2(15-xy)}{6x}=\frac{x}{6x}$

$\Rightarrow 2(15-xy)=x$

$\Rightarrow 30=2xy+x$

$\Rightarrow 30=x(2y+1)$

$\Rightarrow x=\frac{30}{2y+1}$

Vì $x$ nguyên nên $\frac{30}{2y+1}$ nguyên

$\Rightarrow 2y+1$ là ước của $30$

Vì $2y+1$ lẻ nên $2y+1\in\left\{\pm 1; \pm 3; \pm 5; \pm 15\right\}$

$\Rightarrow y\in\left\{-1; 0; -2; 1; -3; 2; -8; 7\right\}$

Tương ứng với các giá trị $y$ trên ta có: $x\in\left\{-30; 30; -10; 10; -6; 6; -2;2\right\}$

`-1/5<=x/8<=1/4`

`=>8* -1/5<=x<=1/4*8`

`=>-8/5<=x<=2`

Mà `x in ZZ`

`=>x in {-1,0,1,2}`

Mà 

\(\dfrac{-1}{5}\le\dfrac{x}{8}\le\dfrac{1}{4}\) 

\(\Rightarrow\dfrac{-8}{40}\le\dfrac{5x}{40}\le\dfrac{10}{40}\) 

\(\Rightarrow5x\in\left\{-5;0;5;10\right\}\) 

\(\Rightarrow x\in\left\{-1;0;1;2\right\}\)

\(y=\dfrac{2\left(2x+5\right)-18}{2x+5}=2-\dfrac{18}{2x+5}\)

\(y\in Z\Rightarrow\dfrac{18}{2x+5}\in Z\Rightarrow2x+5=Ư\left(18\right)\)

Mà 2x+5 luôn lẻ nên ta có: \(2x+5=\left\{-9;-3;-1;1;3;9\right\}\)

Lời giải:
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{8}$

$\Rightarrow \frac{x+y}{xy}=\frac{1}{8}$

$\Rightarrow 8(x+y)=xy$
$\Rightarrow xy-8x-8y=0$

$\Rightarrow x(y-8)-8(y-8)=64$

$\Rightarrow (x-8)(y-8)=64$

Do $x,y$ tự nhiên nên $x-8,y-8\in\mathbb{Z}$

$\Rightarrow x-8$ là ước của $64$. Mà $x-8>-8$ với mọi $x\in\mathbb{N}^*$ nên:

$x-8\in\left\{1; 2; 4; 8; 16; 32; 64; -1; -2; -4\right\}$

Đến đây bạn chỉ cần chịu khó xét các TH là được.

c, x/2+1/y=1/3         (x,y∈Z)

⇒1/y=1/3-x/2

⇒1/y=2-3x/6

⇒y(2-3x)=6

⇒y∈Ư(6)∈{1;-1;2;-2;3;-3;6;-6}

Vậy các cặp (x;y) thỏa mãn pt trên là (0;3);(1;-6)

d, 4x-5⋮2x+1     (x∈Z)

⇒4x-5-2(2x+1)⋮2x+1

⇒-7⋮2x+1

⇒2x+1∈Ư(-7)∈{1;-1;7;-7}

Ta lập bảng

Vậy với x=-4;x=0;x=1;x=3 thì thỏa mãn pt trên