Ta thấy AC = 4 cm; A’C’ = 4 cm.

Vậy AC = A’C’.

Xét hai tam giác vuông: ∆ABC và ∆A'B'C' có:

BC = B'C' = 5 cm

AB = A'B' = 3 cm

⇒ ∆ABC = ∆A'B'C' (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

⇒ AC = A'C' (hai cạnh tương ứng)

a) Ta có: \(\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3},\frac{{A'C'}}{{AC}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3},\frac{{B'C'}}{{BC}} = \frac{4}{{12}} = \frac{1}{3}\). Do đó, các tỉ số trên bằng nhau.

b) Ta có: \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3};\frac{{AN}}{{AC}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\)

Vì \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} \Rightarrow MN//BC\) (định lí Thales đảo)

Vì \(MN//BC \Rightarrow \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{MN}}{{BC}}\) (Hệ quả của định lí Thales)

Do đó, \(\frac{{MN}}{{BC}} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{{MN}}{{12}} = \frac{1}{3} \Rightarrow MN = \frac{{12.1}}{3} = 4\).

Vậy \(MN = 4cm\).

c) Vì \(MN//BC \Rightarrow \Delta ABC\backsim\Delta AMN\) (định lí)(1)

Xét tam giác \(AMN\) và tam giác \(A'B'C'\) ta có:

\(AM = A'B' = 2cm;AN = A'C' = 2cm;MN = B'C' = 4cm\)

Do đó, \(\Delta AMN = \Delta A'B'C'\) (c.c.c)

Vì  \(\Delta AMN = \Delta A'B'C'\) nên \(\Delta AMN\backsim\Delta A'B'C'\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra, \(\Delta ABC\backsim\Delta A'B'C'\).

a: Do AC > A'C' nên lấy được điểm C₁ trên cạnh AC sao cho AC₁=A′C′.

Ta có  ΔABC₁=ΔA'B'C'

Suy ra B′C′=BC1

Mặt khác hai đường xiên BC và BC₁ kẻ từ B đến đường thẳng AC lần lượt có hình chiếu trên AC là AC và AC₁.

Vì AC > AC1 nên BC > BC1.

Suy ra BC > B'C'.

b: 

-Giả sử AC<A'C'.

Khi đó theo chứng minh câu a) ta có BC < B'C'. Điều này không đúng với giả thiết BC > B'C'.

Giả sử AC=A'C'. Khi đó ta có ΔABC=ΔA'B'C' (c.g.c).

Suy ra BC=B'C'.

Điều này cũng không đúng với giả thiết BC>B'C'. Vậy ta phải có AC>A'C'.

Xét 2 tam giác ABC và A’B’C có:

AB=A’B’ (gt)

\(\widehat A = \widehat {A'}\) (gt)

AC=A’C’ (gt)

\( \Rightarrow \Delta ABC = \Delta A'B'C'\)(c.g.c)

Bạn tự vẽ hình nha 

a)_ Từ C kẻ đường thẳng song song với AB, cắt FE tại N => ^NCM = ^EBM (so le trong)

_Xét tg NCM và tg EBM ta có:

      ^NCM =^EBM(cmt)

      CM=BM(gt)

      ^NMC =^EMB(đối đỉnh)

=> tg NCM = tg EBM (g.c.g) 

=> CN = BE (2 cạnh tương ứng)

_CN // AB(cách vẽ) => ^CNF = ^AEF(đồng vị)(1)

  Bạn c/m tg AHF = tg AHE(g.c.g)

=> ^AFH = ^AEH hay ^CFN = ^AEF(2)

(1),(2) => ^CNF = ^CFN => tg CFN cân tại C

=> CF = CN. Mà CN = BE(cmt) => CF = BE

b) _Ta có: AB = AE + BE; AC = AF - CF

=> AB + AC = AE+BE+AF-CF(*)

Tg AHF = tg AHE(cmt) => AF = AE

Lại có BE=CF(câu a) thay vào(*) ta có:

      AB+AC = AE+BE+AE-BE =2.AE

=> AE=(AB+AC)/2

*Để mk nghĩ câu c đã

Định lý Ceva phải không?

Mình cũng không biết nhưng nếu bạn nghĩ như vậy thì hãy thử làm xem ạ!

Chắc định lý Ceva rồi. Mình không biết là mình có ghi lại cách chứng minh không.

Vì \(\widehat A = \widehat {A'},\widehat C = \widehat {C'}\)mà tổng ba góc trong một tam giác bằng 180° nên \(\widehat B = \widehat {B'}\).

Xét hai tam giác ABC và A’B’C’ có: \(\widehat A = \widehat {A'}\), AB = A’B’, \(\widehat B = \widehat {B'}\).

Vậy \(\Delta ABC = \Delta A'B'C'\)(g.c.g)