a) Âp dụng tính chất đường trung bình cho DBAC và DADC ta có:

EF//HG; EF = HG = 0.5AC và HE//HG; HE = FG = 0.5BD.

Mà ABCD là hình chữ nhật nên AB = BD Þ EFGH là hình thoi.

b) Gọi O = AC Ç BD Þ O là trung điểm của AC và BD. Chứng minh EBGD và BFDH là hình bình hành suy ra AC, BD,EG, FH đồng quy tại trung điểm mỗi đường (điểm O).

a)

Ta nối E và G ; H và F lại với nhau tạo thành hai đường chéo của tứ giác HEFG.

Vì ABCD là hình nhữ nhật nên ABCD là hình thang đặc biệt.

Có: EG là đường trung bình của của hình chữ nhật ABCD ( AE=EB; DG=GC )

=> EG//AD (1)

HF là đường trung bình của hình chữ nhật ABCD ( AH=HD; BF=FC )

=> HF//AB (2)

Theo bài ra: AB _|_ AD ( Tứ giác ABCD là hình chữ nhật )

Từ (1) và (2) suy ra: HF_|_ EG

Tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi nên HEFG là hình thoi.

Bạn có thể chứng minh theo trục đối xứng.

b)

Gọi I là giao điểm của hai AC và BD (1)

Ta có: AC và BD là hai đường chéo của hình chữ nhật ABCD

=> AI = IC và BI = ID

Xét tam giác ABC có: AE=EB và AI = IC

=> EI là đường trung bình của tam giác ABC

=> EG cắt AC tại I (2)

Xét tam giác ABD có AH=HD và DI=IB

=> HI là đường trung bình của tam giác ABD

=> HF cắt BD tại I (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra EG cắt HF tại I (4)

Từ (1),(2),(3),(4) suy ra EG,HF,AC,BD đồng quy tại I

Bài 1: 

a: Xét tứ giác AMCN có 

AM//CN

AM=CN

Do đó: AMCN là hình bình hành

b: Ta có: AD⊥AC

mà AD//BC

nên BC⊥CA

=>ΔCBA vuông tại C

mà CM là đường trung tuyến

nên CM=MA

=>ΔMCA cân tại M

=>\(\widehat{MAC}=\widehat{MCA}\)

mà \(\widehat{MAC}=\widehat{DCA}\)

nên \(\widehat{MCA}=\widehat{DCA}\)

hay CA là tia phân giác của góc MCD

Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Qua O kẻ các đường thẳng lần lượt vuông góc với AB,BC,CD,DA tại E,G,F,H.Chứng minh:

a) Bà điểm E,O,F thẳng hàng và ba điểm G,O,H thẳng hàng

b) Tứ giác EGFH lầ hình vuông

anh yeu em

Câu a, sủa đề: F là trung điểm của BC

Ta có: hình chữ nhật ABCD

=> AC = BD ( tính chất)

Xét tam giác ABD có:

AH = HD ( H là trung điểm của BD_

AE = BE ( E là trung điểm của AB)

=> HE là đường trung bình của tam giác ABD

=> HE // BD

=> HE = 1/2 BD

Chứng minh tương tự ta có: GF // HE

GF = 1/2 BD

Xét tứ giác HEFG có:

HE // GF( // HE)

HE = GF( = 1/2 BD)

=> tứ giác HEFG là hình bình hành

Xét tam giác BAF có:

AE = BE

BF = CF

=> EF là đường trung bình của tam giác BAF

=> EF = AC

Mà: ta có: HE = BD

Theo chứng minh trên ta có: BC = AC

=> EF = HE

Xét hình bình hành HEFG có:

HE = EF

=> hình bình hành HEFG là hình thoi

b, Gọi O là giao điểm của AB và BD

Ta có:hình chữ nhật ABCD

=> AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

Mà: AC cắt BD tại O

=> O là tâm đối xứng

=> AO = CO = BO = DO

Ta có hình chữ nhật ABCD

=> AD // BC

Mà: H ∈ AD và F ∈ BC

=> AH // FC

=> góc HAO = góc FCO

Xét tam giác AOH và tam giác COF có:

góc HAO = góc FCO

AO = CO

góc AOH = góc COF ( đối đỉnh)

=> tam giác AOH = tam giác COF

=> HO = FO

=> O là trung điểm của HF

Ta có hình thoi EHFG

=> EG cắt HF tại trung điểm của mỗi đường

Mà: O là trung điểm của HF

=> O đồng thời là trung điểm của EG

=> HF cắt EG tại O

Mà AC cắt BD tại O

=> HF , EG , HF , EG đồng quy tại O

Cậu xem lại bài nhé

Cậu có thể rút gắn hơn miễn sao cậu hiểu

a: Xét ΔABD có 

E là trung điểm của AB

H là trung điểm của AD

Do đó: EH là đường trung bình của ΔABD

Suy ra: EH//BD và \(EH=\dfrac{BD}{2}\left(1\right)\)

Xét ΔBCD có 

F là trung điểm của BC

G là trung điểm của DC

Do đó: FG là đường trung bình của ΔBCD

Suy ra: FG//BD và \(FG=\dfrac{BD}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra EH//GF và EH=GF

hay EHGF là hình bình hành