a: XétΔAHB vuông tại H có HM là đường cao

nên BM*BA=BH^2; AM*AB=AH^2; HM*AB=HA*HB

Xét ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao

nên AN*AC=AH^2; CN*CA=CH^2; HA*HC=HN*CA

CN*BM*BC

=BH^2/BA*CH^2/CA*BC

\(=\dfrac{\left(BH\cdot CH\right)^2}{BA\cdot CA}\cdot BC\)

=AH^4/AH=AH^3

AM*AB=AH^2

AN*AC=AH^2

=>AM*AB=AN*AC(Cái này mới đúng nè bạn, còn cái AM*AC=AN*AB là sai đề rồi á)

b: AM*AN

=AH^2/AB*AH^2/AC

=AH^4/AB*AC

\(=\dfrac{AH^4}{AH\cdot BC}=\dfrac{AH^3}{BC}\)

c: Sửa đề: AB^3/AC^3=BM/CN

\(\dfrac{BM}{CN}=\dfrac{BH^2}{AB}:\dfrac{CH^2}{AC}\)

\(=\dfrac{BH^2}{AB}\cdot\dfrac{AC}{CH^2}=\dfrac{BH^2}{CH^2}\cdot\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{AB^4}{AC^4}\cdot\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{AB^3}{AC^3}\)

a) \(1+tan^2B=1+\dfrac{AC^2}{AB^2}=\dfrac{AB^2+AC^2}{AB^2}=\dfrac{BC^2}{AB^2}=\dfrac{1}{\left(\dfrac{AB}{BC}\right)^2}=\dfrac{1}{cos^2B}\)

b) Ta có: \(a.sinB.cosB=BC.\dfrac{AC}{BC}.\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{AC.AB}{BC}=\dfrac{AH.BC}{BC}=AH\)

\(AB^2=BH.BC\Rightarrow BH=\dfrac{AB^2}{BC}=BC.\left(\dfrac{AB}{BC}\right)^2=BC.cos^2B\)

Tương tự \(\Rightarrow CH=BC.sin^2B\)

Hình tự vẽ nha

Kẻ phân giác \(AD,BK\perp AD\)
\(\sin\dfrac{A}{2}=\sin BAD\)
xét \(\Delta AKB\) vuông tại K,có: 
\(\sin BAD=\dfrac{BK}{AB}\left(1\right)\)
Xét \(\Delta BKD\) vuông tại K,có :
\(BK\le BD\) thay vào (1): 
\(\sin BAD\le\dfrac{BD}{AB}\left(2\right)\) 
lại có:\(\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{AB}{AC}\)
\(\Rightarrow\dfrac{BD}{BD+CD}=\dfrac{AB}{AB+AC}\)
\(\Rightarrow\dfrac{BD}{BC}=\dfrac{AB}{AB+AC}\)
\(\Rightarrow BD=\dfrac{AB\cdot AC}{AB+AC}\) thay vào (2) 
\(\sin BAD\le\dfrac{\dfrac{AB\cdot AC}{AB+AC}}{AB}=\dfrac{BC}{AB+AC}\)
\(\RightarrowĐPCM\)

Tick plz

a: tan B=3/4

=>AC/AB=3/4

=>AC=9cm

BC=căn 9^2+12^2=15cm

b: sin B=căn 3/2

=>AC/AB=căn 3/2

=>AC=căn 3

BC=căn AB^2+AC^2=2