Cho ∆ABC nhọn có các đường trung tuyến AM và CN cắt nhau tại G, Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MG. Chứng minh rằng :
a, ∆BMG = ∆CME
b, BG // EC
c, Gọi I trung điểm của BE, AI cắt BG tại F. Chứng minh : 3 điểm E,F,N thẳng hàng.
Cho tam giác ABC. Hai đường trung tuyến AM và CN cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia AM lấy điểm E sao cho ME = MG.
a) Chứng minh rằng BG song song với EC.
b) Gọi I là trung điểm của BE, AI cắt BG tại F. Chứng minh rằng AF = 2FI
Tham khảo:
a) Xét tam giác BGM và tam giác CEM có :
\(\widehat {GMB} = \widehat {EMC}\)(2 góc đối đỉnh)
GM = ME (do G đối xứng E qua M)
MB = MC (do M là trung điểm của BC)
\( \Rightarrow \Delta BGM = \Delta CEM(c - g - c)\)
\( \Rightarrow \widehat {GBM} = \widehat {MCE}\)(2 góc tương ứng bằng nhau)
Mà 2 góc trên ở vị trí so le trong nên BG⫽CE
b) Vì I là trung điểm BE nên AI sẽ là trung tuyến của tam giác ABE
Và BG cũng là trung tuyến của tam giác ABE do G là trung điểm AE
Vì BG cắt AI tại F nên F sẽ là trọng tâm của tam giác ABE
\(\, \Rightarrow AF = \dfrac{2}{3}AI\)(định lí về trọng tâm tam giác)
Mà AI = AF + FI \( \Rightarrow \) FI = AI – AF
\( \Rightarrow FI = AI - \dfrac{2}{3}AI = \dfrac{1}{3}AI\)
\( \Rightarrow 2FI = AF = \dfrac{2}{3}AI\)
\( \Rightarrow \) AF = 2 FI
Cho tam giác nhọn ABC.Trung tuyến AM và CN cắt nhau tại G.Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MG. A) cm: tg bmg= tg cme B) cm: bg//ec C) Gọi i là trung điểm của be, ai cắt bg tại f. Cm: e, f, n thẳng hàng
cho tam giác ABC có góc B = 90 độ , vẽ trung tuyến AM . trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME=MA .chứng minh
a) tam giác ABM= tam giác ECM
b) BE song song với AC
c)gọi N là trung điểm của CE . BN cắt CE tại G. biết AB=30cm,BC=4cm. tính BG
a: Xét ΔMBA và ΔMCE có
MB=MC
góc BMA=góc CME
MA=ME
=>ΔMBA=ΔMCE
b: Xét tứ giác ABEC có
M là trung điểm chung của AE và BC
=>ABEC là hình bình hành
=>BE//AC
Cho tam giác ABC cân tại A, có cạnh BC là cạnh lớn nhất. Các đường trung tuyến AM và BN của tam giác ABC cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia MG lấy điểm D sao cho M là trung điểm của đoạn GD.
1. Chứng minh ∆BMG = ∆CMD, từ đó chứng minh BG song song với CD.
2. Chứng minh 3CD = 2BN.
3. Chứng minh CN < CD
1: Xét ΔBMG và ΔCMD có
BM=CM(AM là đường trung tuyến ứng với cạnh BC của ΔABC)
\(\widehat{BMG}=\widehat{CMD}\)(hai góc đối đỉnh)
GM=DM(M là trung điểm của GD)
Do đó: ΔBMG=ΔCMD(c-g-c)
⇒\(\widehat{GBM}=\widehat{DCM}\)(hai góc tương ứng)
mà \(\widehat{GBM}\) và \(\widehat{DCM}\) là hai góc ở vị trí so le trong
nên BG//DC(dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)
2: Xét ΔABC có
AM là đường trung tuyến ứng với cạnh BC(gt)
BN là đường trung tuyến ứng với cạnh AC(gt)
AM\(\cap\)BN={G}
Do đó: G là trọng tâm của ΔABC(định lí ba đường trung tuyến của tam giác)
⇒\(AG=\frac{2}{3}AM\)(tính chất)(1)
Ta có: AG+GM=AM(G nằm giữa A và M)
hay \(GM=AM-AG=AM-\frac{2}{3}AM=\frac{1}{3}AM\)
mà GD=2GM(M là trung điểm của GD)
nên \(GD=2\cdot\frac{1}{3}AM=\frac{2}{3}AM\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra AG=GD
mà A,G,D thẳng hàng(A,G,M,D thẳng hàng)
nên G là trung điểm của AD
Xét ΔADC có
G là trung điểm của AD(cmt)
N là trung điểm của AC(BN là đường trung tuyến ứng với cạnh AC của ΔABC)
Do đó: GN là đường trung bình của ΔADC(định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇒GN//DC và \(GN=\frac{DC}{2}\)(định lí 2 về đường trung bình của tam giác)(3)
Ta có: G là trọng tâm của ΔABC(cmt)
⇒\(GN=\frac{1}{3}BN\)(tính chất)(4)
Từ (3) và (4) suy ra \(\frac{DC}{2}=\frac{1}{3}BN\)
⇔\(\frac{DC}{2}=\frac{BN}{3}\)
hay \(3\cdot CD=2\cdot BN\)(ddpcm)
Cho tam giác ABC, 2 trung tuyến BM, CN cắt nhau tại G, E, F là trung điểm BG, GC.
a) Chứng minh MNEF là hình bình hành.
b) Lấy I, K thuộc tia đối của tia MG và NG sao cho MI=MG và NK=NG. Chứng minh BCIK là hình bình hành.
a)
ΔABC có: NA= NB; MA = MC
⇒ NM là đường trung bình của ΔABC
⇒ NM // BC; NM = \(\frac{BC}{2}\) (1)
CMTT với ΔGBC, ta được: EF // BC; EF = \(\frac{BC}{2}\) (2)
Từ (1), (2) ⇒ NM // EF; NM = EF
⇒ Tứ giác MNEF là hình bình hành (đpcm)
b)
Hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau ở G
⇒ G là trọng tâm của ΔABC
⇒ CG = 2NG; BG = 2GM
Mà NK = NG ⇒ KG = 2NG
MI = MG ⇒ IG = 2GM
⇒ CG = KG; BG = IG
⇒ Tứ giác BCIK là hình bình hành (đpcm)
\(\frac{BC}{2}\)
a , trong tam giác BGC có EF là đường trung bình => EF // BC ( *)
trong tam giác ABC có MN là đường trung bình => MN // BC ( * * )
từ (*) (**) => EF // MN (1)
nối AG .
trong tam giác ABG có NE là đường trung bình => NE // AG (***)
trong tam giác ACG có MF là đường trung bình => MF // AG (****)
từ (***) (****) => NE // MF (2 )
từ (1) và (2 )
=> MNEF là hình bình hành ( dấu hiệu 1 sgk )
b . đề sai ở chỗ MT = MG phải ko . mình chữa lại là MI = MG
chứng minh
từ câu a , MNEF là hình bình hành => NG = GF và FG = MG
mà : BE = EG = MG = MI => G là trung điểm của BI (1 )
CF = FG = NG = JN => G là trung điểm của JC ( 2)
từ (1 ) và (2) => JC cắt IB tại trung điểm của mỗi đường <=> JIBC là hình bình hành
Cho tam giác ABC. 2 trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Trên tia đối của MG lấy điểm E sao cho ME=MG. Trên tia đối của tia NG lấy điểm F sao cho NF=NG
Chứng minh: a)BF=CE
b) BF // CE
Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM và G là trọng tâm tam giác, tia BG cắt AC tại N, trên tia đối của tia NB lấy điểm D sao cho ND = NG. Chứng minh hai tam giác ANG và CND bằng nhau và CD = 2.MG.
Xet tam giac ABC ta có
G la trong tâm (gt)
->BG la dương trung tuyến
mà BG cắt AC tai N (gt)
nên BN là đường trung tuyến
--> N la trung điểm AC
Xét tam giac ANG và tam giac NCD ta có
ND=NG (gt) ; goc ANG=goc CND (đối đỉnh) ; AN=NC ( N là trung điểm AC)
--< tam giac ANG=tam giac CND (c-g-c)
--> AG=CD ( 2 cạnh tương ứng)
ta có : G là trọng tâm tam giac ABC (gt)
-> AG=\(\frac{2}{3}AM\)-> \(\frac{AG}{2}=\frac{AM}{3}=\frac{AM-AG}{3-2}=\frac{MG}{1}\)
--> AG=2MG
ma AG -=CD 9cmt)
nên CD=2MG
Cho ABC nhọn có trung tuyến AM và G là trọng tâm. Trên tia AG lấy điểm H sao cho G là trung điểm của AH.
a) Chứng minh BG // CH
b) Đường trung trực của cạnh BC lần lượt cắt AC, GC và BH tại I, J, K. Chứng minh BK = CJ
c) Chứng minh : AH = 4MH.
a: Xét tứ giác BGCH có
M là trung điểm của GH
M là trung điểm của BC
Do đó; BGCH là hình bình hành
SUy ra: BG//CH
b: Xét ΔBMK vuông tại M và ΔCMJ vuông tại M có
MB=MC
\(\widehat{MBK}=\widehat{MCJ}\)
Do đó: ΔBMK=ΔCMJ
Suy ra: BK=CJ
Cho tam giác ABC cân tại A, biết A = 60 độ, AH vuông góc BC, trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia MG lấy điểm D sao cho MG=MD.Trên tia đối tia NG lấy điểm E sao cho NG=NE
a) chứng minh BCDE là hình chữ nhật
b) tính diện tích của tam giác BCD biết BG=2,5cm và BC=4cm
c) tính số đo góc BGC