Đường thẳng d qua A có dạng: \(y=k\left(x+2\right)-2\)

Pt hoành độ giao điểm d và (P):
\(-\dfrac{1}{2}x^2=k\left(x+2\right)-2\Leftrightarrow x^2+2kx+4k-4=0\) (1)

d tiếp xúc (P) khi và chỉ khi (1) có nghiệm kép

\(\Leftrightarrow\Delta'=k^2-4k+4=0\Leftrightarrow k=2\)

Phương trình d: \(y=2x+2\)

- đường thẳng (d) tiếp xúc với (P) có hệ số góc k=y'=-x

- đường thẳng (d) đi qua A(-2;-2) => k=-x_A=2

==> pt đường thẳng (d) là : y=2(x+2)-2 <=> y=2x+2

Do đường tròn tiếp xúc (d) tại B nên tâm đường tròn (C) sẽ nằm trên đường thẳng \(d_1\) qua B và vuông góc d

Phương trình \(d_1\) có dạng:

\(3\left(x-1\right)-1\left(y+1\right)=0\Leftrightarrow3x-y-4=0\)

Do đường tròn đi qua A và B nên tâm đường tròn cũng nằm trên trung trực \(d_2\) của AB. Gọi M là trung điểm AB \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}=\left(-4;-4\right)=-4\left(1;1\right)\\M\left(3;1\right)\end{matrix}\right.\)

Phương trình \(d_2\):

\(1\left(x-3\right)+1\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow x+y-4=0\)

Tọa độ I là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}3x-y-4=0\\x+y-4=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow I\left(2;2\right)\)

\(\Rightarrow R=IA=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}\)

Phương trình: \(\left(x-2\right)^2+\left(y-2\right)^2=10\)

a: Thay x=1 vào (P), ta được:

y=1^2=1

Thay x=1 và y=1 vào (d), ta được:

m+n=1

=>m=1-n

PTHĐGĐ là:

x^2-mx-n=0

=>x^2-x(1-n)-n=0
=>x^2+x(n-1)-n=0

Δ=(n-1)^2-4*(-n)

=n^2-2n+1+4n=(n+1)^2>=0

Để (P) tiếp xúc (d) thì n+1=0

=>n=-1

b: n=-1 nên (d): y=2x-1

(d1)//(d) nên (d1): y=2x+b

Thay x=2 vào y=x^2, ta được:

y=2^2=4

PTHĐGĐ là:

x^2-2x-b=0

Δ=(-2)^2-4*1*(-b)=4b+4

Để (d1) cắt (P) tại 2 điểm pb thì 4b+4>0

=>b>-1

Gọi đường thẳng cần tìm có đồ thị là  (d):  y = ax + b.

Xét phương trình hoành độ: \(x^2=ax+b\Leftrightarrow x^2-ax-b=0\)  (1)

Để (d) tiếp xúc với (P) thì (1) sẽ có nghiệm kép.

Điều kiện để (1) có nghiệm kép là: \(\Delta_{\left(1\right)}=0\Leftrightarrow a^2+4b=0\)    (2)

Mà đồ thị (d) tiếp xúc với (P) tại M(2;4)  nên       2a + b = 4    (3)

Kết hợp (2) và (3) ta có HPT:  \(\int^{a^2+4b=0}_{2a+b=4}\Leftrightarrow\int^{a^2+4\left(4-2a\right)=0}_{_{b=4-2a}}\Leftrightarrow\int^{a^2-8a+16=0}_{b=4-2a}\Leftrightarrow\int^{a=4}_{b=-4}\)

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là (d) : y = 4x - 4  ./.

Do tâm (C) thuộc \(\Delta\) nên có dạng: \(I\left(-2a-3;a\right)\)

\(d\left(I;d\right)=R\Leftrightarrow\dfrac{\left|-2a-3-a+1\right|}{\sqrt{1^2+\left(-1\right)^2}}=\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow\left|3a+2\right|=2\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=0\\a=-\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}I\left(-3;0\right)\\I\left(-\dfrac{1}{3};-\dfrac{4}{3}\right)\end{matrix}\right.\)

Có 2 đường tròn thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}\left(x+3\right)^2+y^2=2\\\left(x+\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(y+\dfrac{4}{3}\right)^2=2\end{matrix}\right.\)

1.

\(x=-1\Rightarrow y=1\Rightarrow A\left(-1;1\right)\)

\(x=2\Rightarrow y=4\Rightarrow B\left(2;4\right)\)

Phương trình đường thẳng AB có dạng \(y=ax+b\) đi qua A và B nên ta có hệ:

\(\left\{{}\begin{matrix}-a+b=1\\2a+b=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=2\end{matrix}\right.\Rightarrow y=x+2\left(AB\right)\)

2.

\(\left(d\right)//\left(AB\right)\Rightarrow x-y+c=0\left(d\right)\)

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left(d\right);\left(P\right)\):

\(x+c=x^2\)

\(\Leftrightarrow x^2-x-c=0\)

\(\Delta=1+4c=0\Leftrightarrow c=-\dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow x-y-\dfrac{1}{4}=0\left(d\right)\)

a: Khi x=-2 thì (y+2)^2=25-(-2-1)^2=25-9=16

=>y=2 hoặc y=-6

TH1: A(-2;2)

I(1;-2)

vecto IA=(-3;4)

Phương trình Δ là:

-3(x-1)+4(y+2)=0

=>-3x+3+4y+8=0

=>-3x+4y+11=0

TH2: A(-2;-6); I(1;-2)

vecto IA=(-3;-4)=(3;4)

Phương trình IA là:

3(x+2)+4(y+6)=0

=>3x+6+4y+24=0

=>3x+4y+30=0

b: Δ//12x+5y+6=0

=>Δ: 12x+5y+c=0

d(I;Δ)=5

=>\(\dfrac{\left|12\cdot1+5\cdot\left(-2\right)+c\right|}{\sqrt{12^2+5^2}}=5\)

=>|c+2|=5*13=65

=>c=63 hoặc c=-67