a: \(x^2-x-3m-2=0\)

\(\text{Δ}=\left(-1\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-3m-2\right)\)

\(=1+12m+8=12m+9\)

Để phương trình có nghiệm kép thì Δ=0

=>12m+9=0

=>12m=-9

=>\(m=-\dfrac{3}{4}\)

Thay m=-3/4 vào phương trình, ta được:

\(x^2-x-3\cdot\dfrac{-3}{4}-2=0\)

=>\(x^2-x+\dfrac{1}{4}=0\)

=>\(\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2=0\)

=>\(x-\dfrac{1}{2}=0\)

=>\(x=\dfrac{1}{2}\)

b: Theo Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=\dfrac{-\left(-1\right)}{1}=1\\x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{-3m-2}{1}=-3m-2\end{matrix}\right.\)

\(\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1x_2\)

\(=1^2-3\left(-3m-2\right)\)

\(=1+9m+6=9m+7\)

c: \(\left(x_1+x_2\right)^2=1^2=1\)

d: \(\left(x_1\right)^2\cdot\left(x_2\right)^2=\left[x_1x_2\right]^2\)

\(=\left(-3m-2\right)^2\)

\(=9m^2+12m+4\)

Trừ vế cho vế:

\(\Rightarrow x^3-y^3=6\left(x^2-y^2\right)-m\left(x-y\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2-6\left(x+y\right)+m\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y\\x^2+xy+y^2-6\left(x+y\right)+m=0\end{matrix}\right.\)

- Với \(x=y\Rightarrow x^3=8x^2-mx\Leftrightarrow x\left(x^2-8x+m\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x^2-8x+m=0\end{matrix}\right.\)

Do đó hệ luôn luôn có nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(0;0\right)\) với mọi m

Để hệ chỉ có 1 nghiệm thì \(x^2-8x+m=0\) vô nghiệm \(\Rightarrow m>16\)

Khi đó, xét pt \(x^2+xy+y^2-6\left(x+y\right)+m=0\) (1)

Ta có:

\(x^2+xy+y^2-6\left(x+y\right)+m>\dfrac{3}{4}\left(x+y\right)^2-6\left(x+y\right)+16=\dfrac{3}{4}\left(x+y-4\right)^2+4>0\)

\(\Rightarrow\) (1) vô nghiệm hay hệ có đúng 1 nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(0;0\right)\)

Vậy \(m>16\) thì hệ có 1 nghiệm

a) Thay tọa độ điểm \(M\left( {4; - 2} \right)\) vào phương trình đường tròn ta được: \({\left( {4 - 1} \right)^2} + {\left( { - 2 - 2} \right)^2} = {3^2} + {4^2} = 25\). Vậy điểm M thỏa mãn phương trình đường tròn \(\left( C \right)\).

b) Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1;2} \right)\) và \(R = 5\).

c) Ta có: \(\overrightarrow {{n_\Delta }}  = \overrightarrow {IM}  = \left( {3; - 4} \right)\). Vậy phương trình tiếp tuyến \(\Delta \) của đường tròn \(\left( C \right)\) là:

\(3\left( {x - 4} \right) - 4\left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x - 4y - 20 = 0\)

Ta có :

\(\frac{m^2\left[\left(x+2\right)^2-\left(x-2\right)^2\right]}{8}-4x=\left(m-1\right)^2+3\left(2m+1\right)\)

\(\Leftrightarrow m^2x-4x=m^2+4m+4\)

\(\Leftrightarrow\left(m-2\right)\left(m+2\right)x=\left(m+2\right)^2\)

- Nếu \(m\ne\pm2\) thì \(x=\frac{m+2}{m-2}\)

- Nếu \(m=2\) thì \(0x=16\)

=> P/trình vô nghiệm . 

- Nếu \(m=-2\) thì \(0x=0\)

=> PT có nghiệm bất kì 

.....

Đặt \(t=x^2-2x+3\left(t\ge2\right)\)

Phương trình trở thành \(f\left(t\right)=t^2+2\left(3-m\right)t+m^2-6m=0\left(1\right)\)

Phương trình \(\left(1\right)\) có nghiệm \(t_1\ge t_2\ge2\) khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'\ge0\\\dfrac{t_1+t_2}{2}\ge2\\1.f\left(2\right)\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(3-m\right)^2-m^2+6m\ge0\\m-3\ge2\\m^2-10m+16\ge0\end{matrix}\right.\)

Giải ra tập giá trị của m rồi lấy các giá trị thuộc \(\left[-10;10\right]\)

bài 1 :

a) ta có : \(\left(x-3\right)\left[x^2+\left(x-1\right)x+k^2\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\\2x^2-x+k=0\end{matrix}\right.\) để phương trình có 3 nghiệm phân biệt

\(\Leftrightarrow2x^2-x+k\) có 2 nghiệm và 2 nghiệm này phải khác 3

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2.3^2-3+k\ne0\\1^2-4.2.k>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}k\ne-15\\k< \dfrac{1}{8}\end{matrix}\right.\)

vậy ...

b) tương tự

2) sữa đề

ta có : \(x^2+3\left(m-3x^2\right)^2=m\)

\(\Leftrightarrow x^2+3\left(m^2-6mx^2+9x^4\right)=m\)

\(\Leftrightarrow27x^4-\left(18m-1\right)x^2-3m^2-m=0\)

phương trình có nghiệm khi phương trình \(27t^2-\left(18m-1\right)t-3m^2-m=0\) có ít nhất 1 nghiệm dương

->...