Cho đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 25\) và điểm \(M\left( {4; - 2} \right)\).
a) Chứng minh điểm \(M\left( {4; - 2} \right)\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\).
b) Xác định tâm và bán kính đường tròn \(\left( C \right)\).
c) Gọi \(\Delta \) là tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại M. Hãy chỉ ra một vecto pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \). Từ đó, viết phương trình đường thẳng \(\Delta \).
a) Thay tọa độ điểm \(M\left( {4; - 2} \right)\) vào phương trình đường tròn ta được: \({\left( {4 - 1} \right)^2} + {\left( { - 2 - 2} \right)^2} = {3^2} + {4^2} = 25\). Vậy điểm M thỏa mãn phương trình đường tròn \(\left( C \right)\).
b) Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1;2} \right)\) và \(R = 5\).
c) Ta có: \(\overrightarrow {{n_\Delta }} = \overrightarrow {IM} = \left( {3; - 4} \right)\). Vậy phương trình tiếp tuyến \(\Delta \) của đường tròn \(\left( C \right)\) là:
\(3\left( {x - 4} \right) - 4\left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x - 4y - 20 = 0\)