\(y'=\dfrac{-2}{\left(x-1\right)^2}\)

Gọi điểm trên trục tung có tọa độ \(M\left(0;m\right)\)

Đường thẳng d qua M có dạng: \(y=kx+m\)

d không tiếp xúc đồ thị hàm số khi và chỉ khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x+1}{x-1}=kx+m\\k=\dfrac{-2}{\left(x-1\right)^2}\end{matrix}\right.\) vô nghiệm

\(\Rightarrow\dfrac{x+1}{x-1}=\dfrac{-2x}{\left(x-1\right)^2}+m\) vô nghiệm

\(\Rightarrow\left(m-1\right)x^2-2\left(m+1\right)x+m+1=0\)

\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(m-1\right)\left(m+1\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow2m+2< 0\)

\(\Rightarrow m< -1\)

Hay \(y< -1\)

Lời giải:

$y'=\frac{-1}{(x+1)^2}$

Giao điểm của đồ thị $y=\frac{x+2}{x+1}$ vớ trục hoành là $(-2,0)$

PTTT của $y=\frac{x+2}{x+1}$ tại điểm tiếp điểm $(-2,0)$ là:

$y=f'(-2)(x+2)+f(-2)=\frac{-1}{(-2+1)^2}(x+2)+0$

$y=-x-2$

Đường tiếp tuyến $y=-x-2$ cắt trục tung tại điểm có tung độ:

$y=-0-2=-2$

Đáp án A

Với x=0 thay vào hai vế của đẳng thức f 2 1 + 2 x = x − f 3 1 − x  ta có f 2 1 = − f 3 1 .

Đạo hàm hai vế của đẳng thức đã cho, ta có:

4 f 1 + 2 x . f ' 1 + 2 x = 1 + 3 f 2 1 − x . f ' 1 − x → x = 0 2 f 1 . f ' 1 = 1 + 3 f 2 1 . f ' 1

Ta có hệ phương trình sau: f 2 1 = − f 3 1 4 f 1 . f ' 1 = 1 + 3 f 2 1 . f ' 1

⇔ f 2 1 f 1 + 1 = 0 4 f 1 . f ' 1 = 1 + 3 f 2 1 . f ' 1 ⇔ f 1 = − 1 f ' 1 = − 1 7

Vậy tiếp tuyến cần tìm là

y = f ' 1 . x − 1 + f 1 = − 1 7 x − 1 − 1 ⇔ y = − 1 7 x − 6 7

Lời giải:

Từ $f(1+3x)=2x-f(1-2x)$ thay $x=0$ suy ra $f(1)=1$

$f(1+3x)=2x-f(1-2x)$

$\Rightarrow f'(1+3x)=(2x)'-f'(1-2x)$

$\Leftrightarrow 3f'(1+3x)=2+2f'(1-2x)$. Thay $x=0$ suy ra $f'(1)=2$

PTTT của $f(x)$ tại điểm $x=1$ là:

$y=f'(1)(x-1)+f(1)=2(x-1)+1=2x-1$

Đáp án A