Question

Cho hàm số \(y=\dfrac{x+1}{x-1}\). Những điểm trên trục tung không kẻ được tiếp tuyến nào với đồ thị là các điểm có tung độ y thỏa mãn:

A. \(y< -1\)

B. \(y\ge-1\)

C. \(y>-1\)

D. \(y\le-1\)

Answer 1

\(y'=\dfrac{-2}{\left(x-1\right)^2}\)

Gọi điểm trên trục tung có tọa độ \(M\left(0;m\right)\)

Đường thẳng d qua M có dạng: \(y=kx+m\)

d không tiếp xúc đồ thị hàm số khi và chỉ khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x+1}{x-1}=kx+m\\k=\dfrac{-2}{\left(x-1\right)^2}\end{matrix}\right.\) vô nghiệm

\(\Rightarrow\dfrac{x+1}{x-1}=\dfrac{-2x}{\left(x-1\right)^2}+m\) vô nghiệm

\(\Rightarrow\left(m-1\right)x^2-2\left(m+1\right)x+m+1=0\)

\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(m-1\right)\left(m+1\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow2m+2< 0\)

\(\Rightarrow m< -1\)

Hay \(y< -1\)