ĐKXĐ: \(-x^2+4x+m>0\)

\(log_2\left(-x^2+4x+m\right)-log_2\left(x^2+2\right)< log_23\)

\(\Leftrightarrow log_2\left(\dfrac{-x^2+4x+m}{x^2+2}\right)< log_23\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{-x^2+4x+m}{x^2+2}< 3\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-x^2+4x+m>0\\-x^2+4x+m< 3x^2+6\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>x^2-4x\\m< 4x^2-4x+6\end{matrix}\right.\) ; \(\forall x\in\left[1;5\right]\)

Xét hai hàm \(\left\{{}\begin{matrix}f\left(x\right)=x^2-4x\\g\left(x\right)=4x^2-4x+6\end{matrix}\right.\) trên \(\left[1;5\right]\) ta được: \(\left\{{}\begin{matrix}f\left(x\right)_{max}=f\left(5\right)=5\\g\left(x\right)_{min}=g\left(1\right)=6\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow5\le m\le6\)

Có 2 giá trị nguyên của m

1.

Đặt \(\sqrt{x^2-4x+5}=t\ge1\Rightarrow x^2-4x=t^2-5\)

Pt trở thành:

\(4t=t^2-5+2m-1\)

\(\Leftrightarrow t^2-4t+2m-6=0\) (1)

Pt đã cho có 4 nghiệm pb khi và chỉ khi (1) có 2 nghiệm pb đều lớn hơn 1

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=4-\left(2m-6\right)>0\\\left(t_1-1\right)\left(t_2-1\right)>0\\\dfrac{t_1+t_2}{2}>1\\\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}10-2m>0\\t_1t_2-\left(t_1+t_1\right)+1>0\\t_1+t_2>2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 5\\2m-6-4+1>0\\4>2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\dfrac{9}{2}< m< 5\)

2.

Để pt đã cho có 2 nghiệm:

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne3\\\Delta'=1+4\left(m-3\right)\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne3\\m\ge\dfrac{11}{4}\end{matrix}\right.\)

Khi đó:

\(x_1^2+x_2^2=4\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=4\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{4}{\left(m-3\right)^2}+\dfrac{8}{m-3}=4\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\left(m-3\right)^2}+\dfrac{2}{m-3}-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\dfrac{1}{m-3}=-1-\sqrt{2}\\\dfrac{1}{m-3}=-1+\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=4-\sqrt{2}< \dfrac{11}{4}\left(loại\right)\\m=4+\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

3.

Nối AI kéo dài cắt BC tại D thì D là chân đường vuông góc của đỉnh A trên BC

\(\Rightarrow\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{c}{b}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{BD}=\dfrac{c}{b}\overrightarrow{DC}\)

\(\Leftrightarrow\overrightarrow{ID}-\overrightarrow{IB}=\dfrac{c}{b}\left(\overrightarrow{IC}-\overrightarrow{ID}\right)\)

\(\Leftrightarrow b.\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{c}.\overrightarrow{IC}=\left(b+c\right)\overrightarrow{ID}\) (1)

Mặt khác:

\(\dfrac{ID}{IA}=\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{CD}{AC}=\dfrac{BD+CD}{AB+AC}=\dfrac{BC}{AB+AC}=\dfrac{a}{b+c}\)

\(\Leftrightarrow\left(b+c\right)\overrightarrow{ID}=-a.\overrightarrow{IA}\) (2)

(1); (2) \(\Rightarrow a.\overrightarrow{IA}+b.\overrightarrow{IB}+c.\overrightarrow{IC}=\left(b+c\right)\overrightarrow{ID}-\left(b+c\right)\overrightarrow{ID}=\overrightarrow{0}\)

2:

a: =>x-4>=0

=>x>=4

b: =>x+1>0

=>x>-1

a: ĐKXĐ: x>=3

Sửa đề: \(\sqrt{4x-12}-\sqrt{9x-27}+\sqrt{\dfrac{25x-75}{4}}-3=0\)

=>\(2\sqrt{x-3}-3\sqrt{x-3}+\dfrac{5}{2}\sqrt{x-3}-3=0\)

=>\(\dfrac{3}{2}\sqrt{x-3}=3\)

=>\(\sqrt{x-3}=2\)

=>x-3=4

=>x=7(nhận)

b: ĐKXĐ: x>=0

\(\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}< =-\dfrac{3}{4}\)

=>\(\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{3}{4}< =0\)

=>\(\dfrac{4\sqrt{x}-8+3\sqrt{x}+3}{4\left(\sqrt{x}+1\right)}< =0\)

=>\(7\sqrt{x}-5< =0\)

=>\(\sqrt{x}< =\dfrac{5}{7}\)

=>0<=x<=25/49

c: ĐKXĐ: x>=5

\(\sqrt{9x-45}-14\sqrt{\dfrac{x-5}{49}}+\dfrac{1}{4}\sqrt{4x-20}=3\)

=>\(3\sqrt{x-5}-14\cdot\dfrac{\sqrt{x-5}}{7}+\dfrac{1}{4}\cdot2\cdot\sqrt{x-5}=3\)

=>\(\dfrac{3}{2}\sqrt{x-5}=3\)

=>\(\sqrt{x-5}=2\)

=>x-5=4

=>x=9(nhận)

a) Từ đồ thị ta thấy bất phương trình (2) biểu diễn phần parabol (P) nằm ở phía trên trục hoành.

b) Phần parabol (P) nằm phía trên trục hoành ứng với các giá trị của x thuộc \(\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+3\ge0\\x^2+4x+3m+1=\left(x+3\right)^2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge-3\\m=\dfrac{2x+8}{3}\end{matrix}\right.\)

Mà \(x\ge-3\) nên pt đã cho có nghiệm khi \(m\ge\dfrac{2.\left(-3\right)+8}{3}=\dfrac{2}{3}\)