Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2-2x+4=2mx-m^2\)

=>\(x^2-2x+4-2mx+m^2=0\)

=>\(x^2-x\left(2m+2\right)+m^2+4=0\)

\(\text{Δ}=\left(2m+2\right)^2-4\left(m^2+4\right)\)

\(=4m^2+8m+4-4m^2-16=8m-12\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì Δ>0

=>8m-12>0

=>8m>12

=>\(m>\dfrac{3}{2}\)

Theo Vi-et, ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=\dfrac{-\left(-2m-2\right)}{1}=2m+2\\x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{m^2+4}{1}=m^2+4\end{matrix}\right.\)

\(x_1^2+2\left(m+1\right)x_2=3m^2+16\)

=>\(x_1^2+x_2\left(x_1+x_2\right)=3m^2+12+4\)

=>\(x_1^2+x_1\cdot x_2+x_2^2=3x_1x_2+4\)

=>\(x_1^2-2x_1x_2+x_2^2=4\)

=>\(\left(x_1-x_2\right)^2=4\)

=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=4\)

=>\(\left(2m+2\right)^2-4\left(m^2+4\right)=4\)

=>\(4m^2+8m+4-4m^2-16=4\)

=>8m-12=4

=>8m=16

=>m=2(nhận)

a: Thay m=4 vào (d), ta được: y=4x+5

Tọa độ giao điểm là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2-4x-5=0\\y=x^2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\in\left\{5;-1\right\}\\y\in\left\{25;1\right\}\end{matrix}\right.\)

b: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2-mx-5=0\)

a=1; b=-m; c=-5

Vì ac<0 nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Áp dụng hệ thức Vi-et, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1x_2=-5\end{matrix}\right.\)

Theo đề, ta có: \(\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}=2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{m^2-4\cdot\left(-5\right)}=2\)

\(\Leftrightarrow m^2+20=4\)(vô lý)

a: Khi m=-2 thì y=-2x+1-(-2)=-2x+1+2=-2x+3

PTHĐGĐ là:

x^2+2x-3=0

=>(x+3)(x-1)=0

=>x=-3 hoặc x=1

=>y=9 hoặc y=1

b: PTHĐGĐ là:

x^2+2x+m-1=0

\(\Delta=2^2-4\left(m-1\right)=4-4m+4=-4m+8\)

Để phương trình có hai nghiệm thì -4m+8>=0

=>m<=2

x1^2+x2^2=x1*x2+8

=>(x1+x2)^2-2x1x2-x1x2=8

=>(-2)^2-3(m-1)=8

=>4-3m+3=8

=>7-3m=8

=>3m=-1

=>m=-1/3

m = 1

*) xét pt hoành độ giao điểm của d và (P)

-x²=2x+m-1

<=> \(x^2+2x+m-1=0\left(1\right)\)

Có \(\Delta'=1-m+1=2-m\)

*) Để d giao với (P) tại 2 điểm phân biệt

<=> pt (1) có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\)

<=> \(\Delta'>0\Leftrightarrow m< 2\)

*) áp dụng Vi-et \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=\frac{-b}{2a}=-1\\x_1x_2=\frac{c}{a}=m-1\end{cases}}\)

*) Có: \(x_1^3-x_2^3+x_1x_2=4\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)\left[\left(x_1+x_2\right)^2-x_1x_2\right]+x_1x_2=4\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)\left(5-m\right)=5-m\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x_1-x_2=1\\x_1+x_2=-1\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x_1=\frac{-1}{2}\\x_2=\frac{-3}{2}\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow m-1=x_1x_2=\left(\frac{-1}{2}\right)\left(\frac{-3}{2}\right)=\frac{3}{4}\)

<=> \(m=\frac{7}{4}\)(tmđk m<2)

Vừa nãy mình viết nhầm Vi-et. Mình làm lại

Xét pt hoành độ của d và (P) có:

\(-x^2=2x+m-1\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x+m-1=0\left(1\right)\)

Có \(\Delta'=1-m+1=2-m\)

Để d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt <=> pt (1) có 2 nghiệm phân biệt

<=> \(\Delta'>0\Leftrightarrow m< 2\)

Theo Vi-et ta có:

\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=\frac{-b}{a}=-2\\x_1x_2=\frac{c}{a}=m-1\end{cases}}\)

Có \(x_1^3-x_2^3+x_1x_2=4\)

<=> \(\left(x_1-x_2\right)\left[\left(x_1+x_2\right)^2-x_1x_2\right]+x_1x_2=4\)

<=> \(\left(x_1-x_2\right)\left(5-m\right)=5-m\)

<=> \(\hept{\begin{cases}x_1-x_2=1\\x_1+x_2=-1\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x_1=\frac{-1}{2}\\x_2=\frac{-3}{2}\end{cases}}}\)

=> m-1=\(x_1x_2=\left(\frac{-1}{2}\right)\left(\frac{-3}{2}\right)=\frac{3}{4}\)

<=> \(m=\frac{7}{4}\)(tmđk)

a: Tọa độ giao điểm là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2=2x-1\\y=x^2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=1\end{matrix}\right.\)

b: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2-mx+m-1=0\)

\(\text{Δ}=\left(-m\right)^2-4\cdot1\cdot\left(m-1\right)=m^2-4m+4=\left(m-2\right)^2>=0\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì m-2<>0

hay m<>2

Theo đề, ta có: \(x_1+x_2+2\sqrt{x_1x_2}=9\)

\(\Leftrightarrow m+2\sqrt{m-1}=9\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{m-1}=\dfrac{9-m}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1< m< 9\\m^2-18m+81-4m+4=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1< m< 9\\\left(m-5\right)\left(m-17\right)=0\end{matrix}\right.\)

=>m=5

Phương trình hoành độ giao điểm:

\(x^2-\left(2m+1\right)x+m^2+m-6=0\left(1\right)\)

Ta có:

\(\Delta=\left(2m+1\right)^2-4\left(m^2+m-6\right)=25>0\forall m\)

\(\Rightarrow\) Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.

Theo định lí Vi-et \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+1\\x_1x_2=m^2+m-6\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(x_1-x_2\right)^2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=\left(2m+1\right)^2-4\left(m^2+m-6\right)=25\)

\(\Rightarrow\left|x_1-x_2\right|=5\)

Lại có:

\(x_1^2+x_2^2+x_1x_2=\left(x_1+x_2\right)^2-x_1x_2=\left(2m+1\right)^2-\left(m^2+m-6\right)=3m^2+3m+7\)

Khi đó \(\left|x_1^3-x_2^3\right|=50\)

\(\Leftrightarrow\left|x_1-x_2\right|\left(x_1^2+x_2^2+x_1x_2\right)=50\)

\(\Leftrightarrow5\left(3m^2+3m+7\right)=50\)

\(\Leftrightarrow m^2+m-1=0\)

\(\Leftrightarrow m=\dfrac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\)