Ta có:

\(k.C_n^k=k.\dfrac{n!}{\left(n-k\right)!.k!}=n.\dfrac{\left(n-1\right)!}{\left(n-1-\left(k-1\right)\right)!\left(k-1\right)!}=n.C_{n-1}^{k-1}\)

Do đó:

\(1C_n^1+2C_n^2+...+nC_n^n\)

\(=n.C_{n-1}^0+nC_{n-1}^1+...+n\left(C_{n-1}^{n-1}\right)\)

\(=n\left(C_{n-1}^0+C_{n-1}^1+...+C_{n-1}^{n-1}\right)\)

\(=n.2^{n-1}\)

Số hạng nào hả bạn? 

tham khảo

Xét khai triển:

\(\left(1+x\right)^n=C_n^0+C_n^1x+C_n^2x^2+...+C_n^nx^n\)

\(\Leftrightarrow x\left(1+x\right)^n=C_n^0x+C_n^1x^2+C_n^2x^3+...+C_n^nx^{n+1}\)

Đạo hàm 2 vế:

\(\left(1+x\right)^n+nx\left(1+x\right)^{n-1}=C_n^0+2C_n^1x+3C_n^2x^2+...+\left(n+1\right)C_n^nx^n\)

Thay \(x=1\)

\(\Rightarrow2^n+n.2^{n-1}=1+2C_n^1+3C_n^2+...+\left(n+1\right)C_n^n\)

\(\Rightarrow2^{n-1}\left(2+n\right)-1=111\)

\(\Rightarrow2^{n-1}\left(2+n\right)=112=2^4.7\)

\(\Rightarrow n=5\)

\(\left(x^2+\dfrac{2}{x}\right)^5=\sum\limits^5_{k=0}C_5^kx^{2k}.2^{5-k}.x^{k-5}=\sum\limits^5_{k=0}C_5^k.2^{5-k}.x^{3k-5}\)

\(3k-5=4\Rightarrow k=3\Rightarrow\) hệ số: \(C_5^3.2^2\)

\(S=3C_0^n+\left(4+3\right)C_n^1+\left(4.2+3\right)C_n^2+...+\left(4n+3\right)C_n^n=S_1+S_2\)

Với \(S_1=3\left(C_n^0+C_n^1+...+C_n^n\right)\)

Dễ dàng thấy \(S_1=3.2^n\)

\(S_2=4.C_n^1+4.2C_n^2+...+4.n.C_n^n=4\left(1C_n^1+2C_n^2+...+nC_n^n\right)\)

Nhận thấy tất cả các số hạng \(S_2\) đều có dạng \(k.C_n^k\)

Ta có: \(k.C_n^k=k.\dfrac{n!}{k!\left(n-k\right)!}=\dfrac{n!}{\left(k-1\right)!\left(n-k\right)!}=n.\dfrac{\left(n-1\right)!}{\left(k-1\right)!.\left[\left(n-1\right)-\left(k-1\right)\right]!}=n.C_{n-1}^{k-1}\)

Nên:

\(S_2=4\left(nC_{n-1}^0+nC_{n-1}^1+...+nC_{n-1}^{n-1}\right)=4n.2^{n-1}=2n.2^n\)

Vậy \(S=S_1+S_2=\left(2n+3\right).2^n\)

`2^n C_n ^0+2^[n-1] C_n ^1+2^[n-2] +... +C_n ^n=59049`

`<=>(2+1)^n=59049`

`<=>3^n=59049`

`<=>n=10 =>(2x^2+1/[x^3])^10`

Xét số hạng thứ `k+1:`

    `C_10 ^k (2x^2)^[10-k] (1/[x^3])^k ,0 <= k <= 10`

 `=C_10 ^k 2^[10-k] x^[20-5k]`

Số hạng chứa `x_5` xảy ra `<=>20-5k=5<=>k=3`

Với `k=3` thì số hạng cần tìm là: `C_10 ^3 2^[10-3] x^5=15360 x^5`

\(\left(x+2\right)^n=C^0_n\cdot x^n+C^1_n\cdot x^{n-1}\cdot2+...+C^n_n\cdot2^n\)(1)

Tổng các hệ số trong khai triển (1) là;

(1+2)^n=3^n

=>3^n=243

=>n=5