Bài 3: Nhị thức Niu-tơn

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Kimian Hajan Ruventaren

Tìm hệ số của x4 trong khai triển Newton của biểu thức \(\left(x^2+\dfrac{2}{x}\right)^n\) ( x khác 0) biết rằng n là số nguyên dương thỏa mản đẳng thức

\(2C^1_n+3C^2_n+4C^3_n+...+\left(n+1\right)C^n_n=111\)

Nguyễn Việt Lâm
5 tháng 3 2022 lúc 16:25

Xét khai triển:

\(\left(1+x\right)^n=C_n^0+C_n^1x+C_n^2x^2+...+C_n^nx^n\)

\(\Leftrightarrow x\left(1+x\right)^n=C_n^0x+C_n^1x^2+C_n^2x^3+...+C_n^nx^{n+1}\)

Đạo hàm 2 vế:

\(\left(1+x\right)^n+nx\left(1+x\right)^{n-1}=C_n^0+2C_n^1x+3C_n^2x^2+...+\left(n+1\right)C_n^nx^n\)

Thay \(x=1\)

\(\Rightarrow2^n+n.2^{n-1}=1+2C_n^1+3C_n^2+...+\left(n+1\right)C_n^n\)

\(\Rightarrow2^{n-1}\left(2+n\right)-1=111\)

\(\Rightarrow2^{n-1}\left(2+n\right)=112=2^4.7\)

\(\Rightarrow n=5\)

\(\left(x^2+\dfrac{2}{x}\right)^5=\sum\limits^5_{k=0}C_5^kx^{2k}.2^{5-k}.x^{k-5}=\sum\limits^5_{k=0}C_5^k.2^{5-k}.x^{3k-5}\)

\(3k-5=4\Rightarrow k=3\Rightarrow\) hệ số: \(C_5^3.2^2\)


Các câu hỏi tương tự
๖ۣۜMavis❤๖ۣۜZeref
Xem chi tiết
Trần Minh Hoàng
Xem chi tiết
Lê Nguyễn Thiện Lộc
Xem chi tiết
Mai Anh
Xem chi tiết
Ngọc Hưng
Xem chi tiết
Mai Anh
Xem chi tiết
Trần Bạch Vân
Xem chi tiết
Sáng Nguyễn Ngọc
Xem chi tiết
trinh trần
Xem chi tiết