\(S_{ACBD}=AC^2=2R^2\)

Diện tích phần nằm trong và nằm nằm ngoài hình vuông bằng:

\(S_{tròn}-S_{ACBD}=\left(pi-2\right)\cdot R^2\)(đvdt)

a: E đối xứng A qua H

=>H là trung điểm của AE

Ta có: ΔOCD cân tại O

mà OH là đường cao

nên H là trung điểm của CD

Xét tứ giác ACED có

H là trung điểm chung của AE và CD

=>ACED là hình bình hành

Hình bình hành ACED có AE\(\perp\)CD

nên ACED là hình thoi

b: Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

=>AC\(\perp\)CB

Ta có: AC\(\perp\)CB

DE//AC(ACED là hình thoi)

Do đó: DE\(\perp\)BC tại I

=>ΔEIB vuông tại I

=>I nằm trên đường tròn tâm O', đường kính EB

Ta có: OO'+O'B=OB

=>O'O=OB-O'B=R₁-R₂

=>(O) và (O') tiếp xúc trong với nhau tại B

c: ΔDIC vuông tại I

mà IH là đường trung tuyến

nên HI=HD

=>ΔHID cân tại H

=>\(\widehat{HID}=\widehat{HDI}=90^0-\widehat{DCB}\)

Ta có: O'E=O'I

=>ΔO'EI cân tại O'

=>\(\widehat{O'IE}=\widehat{O'EI}\)

mà \(\widehat{O'EI}=\widehat{HED}\)(hai góc đối đỉnh)

và \(\widehat{HED}=\widehat{DCB}\)(=90 độ-CDE)

nên \(\widehat{O'IE}=\widehat{DCB}\)

Ta có: \(\widehat{HIO'}=\widehat{HIE}+\widehat{O'IE}\)

\(=90^0-\widehat{DCB}+\widehat{DCB}=90^0\)

=>HI là tiếp tuyến của (O')

Do tính đối xứng, không mất tính tổng quát, giả sử M nằm trên cung nhỏ AC

Từ M lần lượt kẻ ME vuông góc AB và MF vuông góc CD

Do \(\widehat{AMB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\Rightarrow\widehat{AMB}=90^0\) hay tam giác AMB vuông tại M

Áp dụng hệ thức lượng: \(ME.AB=MA.MB\) \(\Leftrightarrow MA.MB=2R.ME\)

Tương tự: \(MC.MD=2R.MF\)

\(\Rightarrow MA.MB.MC.MD=4R^2.ME.MF\)

\(\Rightarrow\) Tích số đã cho đạt max khi \(ME.MF\) đạt max

Lại có tứ giác MEOF là hình chữ nhật (4 góc vuông)

\(\Rightarrow EF=MO=R\)

Áp dụng BĐT \(ab\le\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)\) ta có:

\(ME.MF\le\dfrac{1}{2}\left(ME^2+MF^2\right)=\dfrac{1}{2}EF^2=\dfrac{1}{2}R^2\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(ME=MF\) hay M nằm chính giữa cung AC

Vậy MA.MB.MC.MD đạt max khi M nằm chính giữa một trong các cung nhỏ AC, CB, BD hoặc DA

412 + (340 - x) = 633