a: Xét (O) có

ΔABM nội tiếp

AM là đường kính

Do đó: ΔABM vuông tại B

=>BM\(\perp\)AB

mà CH\(\perp\)AB

nên CH//BM

Xét (O) có

ΔACM nội tiếp

AM là đường kính

Do đó: ΔACM vuông tại C

=>AC\(\perp\)CM

mà BH\(\perp\)AC

nên BH//CM

Xét tứ giác BHCM có

BH//CM

BM//CH

Do đó: BHCM là hình bình hành

b:

Xét ΔABC có

BE,CF là các đường cao

BE cắt CF tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

=>AH\(\perp\)BC tại D

Xét (O) có

\(\widehat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

\(\widehat{AMC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

Do đó: \(\widehat{ABC}=\widehat{AMC}\)

Ta có: \(\widehat{ABC}+\widehat{BAN}=90^0\)(ΔADB vuông tại D)

\(\widehat{AMC}+\widehat{MAC}=90^0\)(ΔACM vuông tại C)

mà \(\widehat{ABC}=\widehat{AMC}\)

nên \(\widehat{BAN}=\widehat{MAC}\)

Xét (O) có

ΔANM nội tiếp

AM là đường kính

Do đó: ΔANM vuông tại N

=>AN\(\perp\)NM

mà AN\(\perp\)BC

nên BC//NM

Ta có: \(\widehat{CHD}=\widehat{ABC}\)(=90 độ-góc FCB)

\(\widehat{ABC}=\widehat{ANC}\)

Do đó: \(\widehat{CHD}=\widehat{ANC}\)

=>ΔCHN cân tại C

=>CH=CN

mà CH=BM

nên BM=CN

Xét tứ giác BCMN có BC//MN

nên BCMN là hình thang

Hình thang BCMN có BM=CN

nên BCMN là hình thang cân

a: Xét tứ giác BEMC có

góc BEC=góc BMC=90 độ

=>BEMC là tứ giác nội tiếp

b: AEHM; BEHI;CIHM;AEIC; BIMA

c: Xét (O) có

ΔACK nội tiếp

AK là đường kính

=>ΔACK vuông tại C

Xét ΔACK vuông tại C và ΔAIB vuông tại I có

góc AKC=góc ABI

=>ΔACK đồng dạng vơi ΔAIB

=>AC/AI=AK/AB

=>AC*AB=AK*AI

a) Xét tứ giác AEDB có 

\(\widehat{AEB}=\widehat{ADB}\left(=90^0\right)\)

nên AEDB là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

Xét đường tròn (O) có: \(\Delta\)ACD nt; AD là đường kính

\(\Rightarrow\) \(\Delta\)ACD là tam giác vuông tại C (sự xác định đường tròn)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{C}\) = 90^o

Xét tứ giác OECD có: \(\widehat{EOD}+\widehat{C}=90^o+90^o=180^o\) (OE \(\perp\) AD tại O)

\(\widehat{EOD}\) và \(\widehat{C}\) là 2 góc đối nhau

\(\Rightarrow\) Tứ giác OECD nt đường tròn (định lý tứ giác nt)

b, Xét tam giác AED có: EO \(\perp\) AD tại O (gt); EO là trung tuyến ứng với AD

\(\Rightarrow\) \(\Delta\)AED là tam giác cân tại E (dhnb tam giác cân)

\(\Rightarrow\) EA = ED (đpcm)

c, Vì \(\Delta\)AED là tam giác cân tại E (cmb)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{EAD}=\widehat{EDA}\) (t/c) (1)

Lại có: \(\Delta\)AOC cân tại O (OA = OC = R)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{OAE}=\widehat{OCE}\) (t/c) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) \(\widehat{EDA}=\widehat{OCE}\)

Xét tam giác AOC và tam giác AED có:

\(\widehat{A}\) chung

\(\widehat{OCA}=\widehat{EDA}\) (cmt)

\(\Rightarrow\) \(\Delta\)AOC ~ \(\Delta\)AED (gg)

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{AO}{AE}=\dfrac{AC}{AD}\) (tỉ số đồng dạng)

\(\Rightarrow\) AE.AC = AO.AD 

Mà trong đường tròn (O): AO = R; AD = 2R (AO là bk; AD là đk)

\(\Rightarrow\) AE.AC = R.2R = 2R² (đpcm)

Chúc bn học tốt!

a, ta có : góc CFH=90°; góc HEB=90°(góc nội tiếp chắn 1/2đtròn)

xét tứ giác AEHF có góc A=gócE=góc F=90°

suy ra AEHF là hcn.

b, vì AEHF là hcn suy ra AEHF nội tiếp suy ra góc AFE=AHE( góc nội tiếp chắn cung AE) (1)

ta lại có: góc AHE=ABH(cùng bù với BAH) (2)

từ 1 và 2 suy ra góc AFE=ABH

mà góc CFE+AFE=180°

suy ra góc CFE+ABH=180°

suy ra BEFC nội tiếp

c, gọi I và K lần lượt là tâm đtròn đường kính HB và HC

gọi O là giao điểm AH và EF

vì AEHF là hcn suy ra OF=OH suy ra tam giác FOH cân tại O

suy ra góc OFH=OHF

vì CFH vuông tại F suy ra KC=KF=KH

suy ra tam giác HKF cân tại K

suy ra góc KFH=KHF

mà góc KHF+FHA=90°

suy ra góc KFH+HFO=90°

suy ra EF là tiếp tuyến của đtròn tâm K

tương tự EF là tiếp tuyến đường tròn tâm I

vậy EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn đường kính HB và HC

a)

1. Ta có : ÐBEH = 90⁰ ( nội tiếp chắn nửc đường tròn )

=> ÐAEH = 90⁰ (vì là hai góc kề bù). (1)

ÐCFH = 90⁰ ( nội tiếp chắn nửc đường tròn )

=> ÐAFH = 90⁰ (vì là hai góc kề bù).(2)

ÐEAF = 90⁰ ( Vì tam giác  ABC vuông tại A) (3)

Từ (1), (2), (3) => tứ giác AFHE là hình chữ nhật ( vì có ba góc vuông)

b)  Tứ giác AFHE là hình chữ nhật nên nội tiếp được một đường tròn

=>ÐF₁=ÐH₁ (nội tiếp chắn cung AE) .

Theo giả thiết AH ^BC nên AH là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn  (O₁) và (O₂)     

 => ÐB₁ = ÐH₁ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HE) => ÐB₁= ÐF₁ => ÐEBC+ÐEFC = ÐAFE + ÐEFC màÐAFE + ÐEFC = 180⁰ (vì là hai góc kề bù) => ÐEBC+ÐEFC = 180⁰  mặt khác ÐEBC và ÐEFC là hai góc đối của tứ giác BEFC do đó BEFC là tứ giác nội tiếp.

c)

Tứ giác AFHE là hình chữ nhật => IE = EH => DIEH cân tại I => ÐE₁ = ÐH₁ .

DO₁EH cân tại O₁ (vì có O₁E vàO₁H cùng là bán kính) => ÐE₂ = ÐH₂.

=> ÐE₁ + ÐE₂ = ÐH₁ + ÐH₂ mà ÐH₁ + ÐH₂ = ÐAHB = 90⁰ => ÐE₁ + ÐE₂ = ÐO₁EF = 90⁰

=> O₁E ^EF .

Chứng minh tương tự ta còng có O₂F ^ EF. Vậy EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròndường kính BH và HC.

a)Ta có góc BEH =90 độ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

và góc FHC = 90 độ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét tứ giác AFHE , ta có:

góc EAF =90 độ (tam giác ABC vuông tại A)

góc AEH =90 độ (cmt)

góc AFH=90 độ (cmt)

=> tứ giác AFHE là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông)

b)Gọi I là giao điểm của AH và EF

Ta có: AH=EF (hcn AFHE) (1)

mà 2 đường chéo AH và EF cắt nhau tại I (vẽ thêm)

=>I là trung điểm của AH và EF (2)

từ (1) và (2)=> IE=IH=IA=IF

Ta có: góc IHF =góc ACH (phụ với góc HAC)

mà góc IHF = góc IFH (tam giác IHF cân tại I (IH=IF) )

=>góc ACH = góc IFH (cùng = góc IHF)

mà góc IFH= góc AEF (2 góc so le trong của AE song song HF(cùng vuông góc AC))

=>góc AEF =góc ACH=>tứ giác BEFC nội tiếp đường tròn

c)Gọi J là tâm của nửa đường tròn đường kính BH

và K là tâm của nửa đường tròn đường kính HC

Ta có: tam giác KFC cân tại K (KF=KC)

=>góc KFC = góc KCF mà góc KCF=góc IFH (cmt)

=>góc KFC =góc IFH (cùng =góc KCF)

mà góc KFC + góc HFK =90 độ (góc HFC =90 độ)

=>góc IFH + góc HFK =90 độ => góc IFK =90 độ

=>EF là tiếp tuyến của nửa (K) (I thuộc EF) (3)

Ta lại có: tam giác JEH cân tại J (JE=JH)

=> góc JEH =góc JHE

mà góc JHE = góc HCF ( 2 góc so le trong của HE song song CA ( cùng vuông góc AB) )

và góc HCF = góc AEF (cmt)

=>góc JEH= góc AEF

mà góc AEF + góc HEF = 90 độ (góc HEA = 90 độ)

=>góc JEH + góc HEF =90 độ => góc JEF = 90 độ

=>EF là tiếp tuyến của nửa (J) (4)

Từ (3) và (4) => EF là tiếp tuyến chung 2 nửa dường tròn dường kính BH và HC

a: góc ACM=1/2*sđ cung AM=90 độ

b: góc ADB=góc AEB=90 độ

=>ABDE nội tiếp