Question

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R). Kẻ đường kính AD. Đường vuông góc với AD tại O cắt AC tại E. Chứng minh:

a) Tứ giác ODCE nội tiếp.

b) EA = ED.

c) AE.AC = 2R².

Answer 1

Xét đường tròn (O) có: \(\Delta\)ACD nt; AD là đường kính

\(\Rightarrow\) \(\Delta\)ACD là tam giác vuông tại C (sự xác định đường tròn)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{C}\) = 90^o

Xét tứ giác OECD có: \(\widehat{EOD}+\widehat{C}=90^o+90^o=180^o\) (OE \(\perp\) AD tại O)

\(\widehat{EOD}\) và \(\widehat{C}\) là 2 góc đối nhau

\(\Rightarrow\) Tứ giác OECD nt đường tròn (định lý tứ giác nt)

b, Xét tam giác AED có: EO \(\perp\) AD tại O (gt); EO là trung tuyến ứng với AD

\(\Rightarrow\) \(\Delta\)AED là tam giác cân tại E (dhnb tam giác cân)

\(\Rightarrow\) EA = ED (đpcm)

c, Vì \(\Delta\)AED là tam giác cân tại E (cmb)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{EAD}=\widehat{EDA}\) (t/c) (1)

Lại có: \(\Delta\)AOC cân tại O (OA = OC = R)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{OAE}=\widehat{OCE}\) (t/c) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) \(\widehat{EDA}=\widehat{OCE}\)

Xét tam giác AOC và tam giác AED có:

\(\widehat{A}\) chung

\(\widehat{OCA}=\widehat{EDA}\) (cmt)

\(\Rightarrow\) \(\Delta\)AOC ~ \(\Delta\)AED (gg)

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{AO}{AE}=\dfrac{AC}{AD}\) (tỉ số đồng dạng)

\(\Rightarrow\) AE.AC = AO.AD 

Mà trong đường tròn (O): AO = R; AD = 2R (AO là bk; AD là đk)

\(\Rightarrow\) AE.AC = R.2R = 2R² (đpcm)

Chúc bn học tốt!