Question

cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đươgf tròn tâm o .đường cao AD cắt đường tròn tại điểm thứ 2 là M . Kẻ MN vuông góc với đường thẳng AB tại N

a) CM tứ giác MNBD nội tiếp và MA là tia phân giác của góc NMC

b) ND cắt AC tại E . Chứng minh ME vuông góc với AC (ai giúp mình phần b với)

 

Answer 1

a: Xét tứ giác MNBD có

\(\widehat{BDM}+\widehat{BNM}=90^0+90^0=180^0\)

=>MNBD là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{NBD}+\widehat{NMD}=180^0\)

mà \(\widehat{NBD}+\widehat{ABC}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{NMD}=\widehat{ABC}\left(1\right)\)

Xét (O) có

\(\widehat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

\(\widehat{AMC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

Do đó: \(\widehat{ABC}=\widehat{AMC}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{NMD}=\widehat{AMC}\)

=>\(\widehat{NMA}=\widehat{CMA}\)

=>MA là phân giác của góc NMC

b: Ta có: NBDM là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{DBM}=\widehat{DNM}\)

=>\(\widehat{MBC}=\widehat{ENM}\left(3\right)\)

Xét (O) có

\(\widehat{MBC}\) là góc nội tiếp chắn cung MC

\(\widehat{MAC}\) là góc nội tiếp chắn cung MC

Do đó: \(\widehat{MBC}=\widehat{MAC}\left(4\right)\)

Từ (3) và (4) suy ra \(\widehat{ENM}=\widehat{MAC}\)

=>\(\widehat{ENM}=\widehat{EAM}\)

=>ANME là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{AEM}+\widehat{ANM}=180^0\)

=>\(\widehat{AEM}=90^0\)

=>ME\(\perp\)AC