a) Xét (O) có 

BI là tiếp tuyến có I là tiếp điểm(gt)

BN là tiếp tuyến có N là tiếp điểm(gt)

Do đó: OB là tia phân giác của \(\widehat{NOI}\)(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra: \(\widehat{BOI}=\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{NOI}\)

Xét (O) có 

AI là tiếp tuyến có I là tiếp điểm(gt)

AM là tiếp tuyến có M là tiếp điểm(gt)

Do đó: OA là tia phân giác của \(\widehat{IOM}\)(Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra: \(\widehat{AOI}=\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{IOM}\)

Ta có: \(\widehat{IOB}+\widehat{IOA}=\widehat{BOA}\)(tia OI nằm giữa hai tia OA và OB)

\(\Leftrightarrow\widehat{AOB}=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\widehat{ION}+\widehat{IOM}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot180^0\)

hay \(\widehat{AOB}=90^0\)

Vậy: \(\widehat{AOB}=90^0\)

1: Vì A,E,M,B cùng nằm trên (O)

nên AEMB nội tiếp

góc AMB=1/2*180=90 độ

=>AM vuông góc IB

ΔIAB vuông tại A có AM vuông góc IB

nên IA^2=IM*IB

a) Để chứng minh CM PQ = PN + NQ, ta sẽ sử dụng định lí Pitago trong tam giác vuông.

Gọi A là giao điểm của tiếp tuyến Mx và Ny. Ta có tam giác AMP và tam giác ANQ là tam giác vuông tại M và N.

Theo định lí Pitago, ta có:

AM^2 = AP^2 + PM^2

AN^2 = AQ^2 + NQ^2

Vì tam giác AMP và tam giác ANQ là tam giác vuông, nên ta có:

AP = AM - PM

AQ = AN - NQ

Thay vào các công thức trên, ta có:

AM^2 = (AM - PM)^2 + PM^2

AN^2 = (AN - NQ)^2 + NQ^2

Mở ngoặc và rút gọn, ta có:

AM^2 = AM^2 - 2AM*PM + PM^2 + PM^2

AN^2 = AN^2 - 2AN*NQ + NQ^2 + NQ^2

Simplifying, we have:

2AM*PM = 2AN*NQ

Chia cả hai vế cho 2, ta có:

AM*PM = AN*NQ

Vì AM = AN (vì là đường kính của nửa đường tròn), nên ta có:

PM = NQ

Do đó, ta có:

PQ = PM + NQ

Vậy, CM PQ = PN + NQ đã được chứng minh.

b) Để chứng minh CM góc PIO = 90 độ, ta sẽ sử dụng tính chất của tiếp tuyến và tiếp tuyến chung.

Gọi O là tâm của nửa đường tròn. Ta có:

Góc PIO = Góc PIM + Góc MIO

Vì PM là tiếp tuyến của đường tròn tại M, nên góc PIM = 90 độ.

Vì Mx và Ny là tiếp tuyến chung, nên góc MIO = góc NIO.

Vậy, góc PIO = 90 độ đã được chứng minh.

c) Để chứng minh CM MN là tiếp tuyến của đường tròn đường kính PQ, ta sẽ sử dụng tính chất của tiếp tuyến và góc chóp đồng quy.

Gọi O là tâm của nửa đường tròn. Ta có:

Góc MON = Góc MOP + Góc NOP

Vì MN là tiếp tuyến của đường tròn tại M, nên góc MOP = 90 độ.

Vì Mx và Ny là tiếp tuyến chung, nên góc NOP = góc NMO.

Vậy, góc MON = 90 độ.

Do đó, MN là tiếp tuyến của đường tròn đường kính PQ đã được chứng minh.

a:góc ABD=góc DCA

góc ABD=góc FAD(góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AD)

góc FAD=góc CAD

=>góc ABD=góc CBD

=>BD là phân giác của góc ABE

mà góc ADB=90 độ

nên BD là đường cao

=>ΔBAE cân tại B

b: Xét ΔEAB có

AC,BD là các đường cao

AC cắt BD tại K

Do đó: K là trực tâm

=>EK vuông góc với BA

c: Xét ΔAKF có AD vừa là đường cao, vừa là phân giác

nên ΔAKF cân tại A

=>góc AKF=góc AFK=góc KFE

=>AK//FE

Xét tứ giác AKEF có

AK//FE

AF//KE

KE=KA

Do đó: AKEF là hình thoi

a: Xét (O) có

MP là tiếp tuyến

MB là tiếp tuyến

Do đó: MP=MB và OM là tia phân giác của góc POB(1)

Xét (O) có

NP là tiếp tuyến

NC là tiếp tuyến

Do đó: NP=NC và ON là tia phân giác của góc POC(2)

Ta có: MN=MP+PN

nên MN=MB+NC

b: Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{MON}=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\widehat{POB}+\widehat{POC}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot180^0=90^0\)