a: Xét (O) có

CM là tiếp tuyến

CA là tiếp tuyến

Do đó: CM=CA và OC là tia phân giác của góc MOA(1)

Xét (O) có

DM là tiếp tuyến

DB là tiếp tuyến

Do đó: DM=DB và OD là tia phân giác của góc MOB(2)

Ta có: CM+DM=CD

nên CD=CA+DB

b: Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{COM}+\widehat{DOM}=\dfrac{1}{2}\left(\widehat{MOA}+\widehat{MOB}\right)=90^0\)

=>\(\widehat{COD}=90^0\)

hay ΔCOD vuông tại O

a: Xét (O) có

MD là tiếp tuyến

MI là tiếp tuyến

Do đó: MD=MI và OM là tia phân giác của góc IOD(1)

Xét (O) có

NI là tiếp tuyến

NE là tiếp tuyến

Do đó: NI=NE và ON là tia phân giác của IOE(2)

Ta có: MN=MI+IN

mà MI=MD

và IN=NE

nên MN=MD+NE

b: Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{MON}=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\widehat{IOD}+\widehat{IOE}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot180^0=90^0\)

hay ΔMON vuông tại O

c: Xét ΔMON vuông tại O có OI là đường cao

nên \(MI\cdot NI=OI^2=R^2\)

hay \(R^2=MD\cdot NE\)

a: Xét tứ giác ACMO có

\(\widehat{CAO}+\widehat{CMO}=90^0+90^0=180^0\)

=>ACMO là tứ giác nội tiếp

=>A,C,M,O cùng thuộc một đường tròn

b: Xét (O) có

CA,CM là các tiếp tuyến

Do đó: CA=CM và OC là phân giác của góc AOM

Xét (O) có

DM,DB là các tiếp tuyến

Do đó: DM=DB và OD là phân giác của góc MOB

OC là phân giác của góc AOM

=>\(\widehat{AOM}=2\cdot\widehat{MOC}\)

Ta có: OD là phân giác của góc MOB

=>\(\widehat{MOB}=2\cdot\widehat{MOD}\)

Ta có: \(\widehat{AOM}+\widehat{MOB}=180^0\)(hai góc kề bù)

=>\(2\cdot\widehat{MOC}+2\cdot\widehat{MOD}=180^0\)

=>\(2\cdot\left(\widehat{MOC}+\widehat{MOD}\right)=180^0\)

=>\(2\cdot\widehat{COD}=180^0\)

=>\(\widehat{COD}=90^0\)

Xét ΔOCD vuông tại O có OM là đường cao

nên \(OM^2=MC\cdot MD\)

mà MC=CA và MD=DB

nên \(AC\cdot BD=OM=R^2\) không đổi

c: Gọi N là trung điểm của CD

Xét hình thang ACDB(AC//DB) có

O,N lần lượt là trung điểm của AB,CD

=>ON là đường trung bình của hình thang ABDC

=>ON//AC//BD

=>ON\(\perp\)AB

Vì ΔCOD vuông tại O có N là trung điểm của CD

nên N là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔCOD

Xét (N) có

NO là bán kính

AB\(\perp\)NO tại O

Do đó: AB là tiếp tuyến của (N)

=>AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ΔCOD

a: góc OAC+góc OMC=180 độ

=>OACM nội tiếp

b: góc BOM=2*60=120 độ

=>góc BDM=60 độ

=>ΔBMD đều

\(S_{qMB}=\dfrac{pi\cdot R^2\cdot120}{360}=\dfrac{1}{3}\cdot pi\cdot R^2\)

a: Gọi giao điểm của OC và AM là H

Suy ra: H là trung điểm của AM

Xét ΔCAM có 

CH là đường trung tuyến ứng với cạnh AM

CH là đường cao ứng với cạnh AM

Do đó: ΔCAM cân tại C

Xét ΔCAO và ΔCMO có

CA=CM

CO chung

OA=OM

Do đó: ΔCAO=ΔCMO

1: Xét (O) có

CM,CA là tiếp tuyến

nen CM=CA và OC là phân giác của góc MOA(1)

Xét (O) có

DM,DB là tiếp tuyến

nên DM=DB và OD là phân giác của góc MOB(2)

Từ (1), (2) suy ra góc COD=1/2*180=90 độ

2: AC*BD=MC*MD=OM^2=R^2

a: Xét (O) có

AB,AC là tiếp tuyến

Do đó; AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1) và (2) suy ra OA là đường trung trực của BC

=>OA\(\perp\)BC tại trung điểm của BC

=>OA\(\perp\)BC tại H và H là trung điểm của BC

Xét ΔOBA vuông tại B có BH là đường cao

nên \(OH\cdot OA=OB^2\)

=>\(OH\cdot10=6^2=36\)

=>OH=36/10=3,6(cm)

b:

ΔOBA vuông tại B

=>\(OB^2+BA^2=OA^2\)

=>\(BA^2=10^2-6^2=64\)

=>\(BA=\sqrt{64}=8\left(cm\right)\)

Xét (O) có

DB,DM là tiếp tuyến

Do đó: DB=DM và OD là phân giác của \(\widehat{MOB}\)

Xét (O) có

EM,EC là tiếp tuyến

Do đó: EM=EC và OE là phân giác của \(\widehat{MOC}\)

Chu vi tam giác AED là:

\(C_{AED}=AD+DE+AE\)

\(=AB-BD+DM+ME+AC-CE\)

=AB+AC

=2*AB

=16(cm)

c:

OD là phân giác của góc MOB

=>\(\widehat{MOD}=\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{MOB}\)

OE là phân giác của góc MOC

=>\(\widehat{MOE}=\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{MOC}\)

Xét ΔBOA vuông tại B có \(sinBOA=\dfrac{BA}{OA}=\dfrac{4}{5}\)

nên \(\widehat{BOA}\simeq53^0\)

 \(\widehat{DOE}=\widehat{DOM}+\widehat{MOE}\)

\(=\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{BOM}+\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{COM}\)

\(=\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{BOC}=\widehat{BOA}\)

\(=53^0\)