a: Xét tứ giác AIMK có

\(\widehat{AIM}=\widehat{AKM}=\widehat{KAI}=90^0\)

=>AIMK là hình chữ nhật

b: Xét ΔABC có

M là trung điểm của BC

MI//AC

Do đó: I là trung điểm của AB

Xét ΔBAC có

M,I lần lượt là trung điểm của BC,BA

=>MI là đường trung bình của ΔBAC

=>MI//AC và MI=AC/2

MI//AC

I\(\in\)MN

Do đó: MN//AC

Ta có: \(MI=\dfrac{AC}{2}\)

\(MI=\dfrac{MN}{2}\)

Do đó: MN=AC

Xét tứ giác ACMN có

MN//AC

MN=AC

Do đó: ACMN là hình bình hành

c: Xét ΔBAC có

M là trung điểm của CB

MK//AB

Do đó: K là trung điểm của AC

Xét ΔABC có

I,K lần lượt là trung điểm của AB,AC

=>IK là đường trung bình của ΔABC

=>IK//BC

=>IK//MQ

Ta có: ΔQAC vuông tại Q

mà QK là đường trung tuyến

nên \(QK=\dfrac{AC}{2}\)

mà MI=AC/2

nên QK=MI

Xét tứ giác MQIK có MQ//KI

nên MQIK là hình thang

Hình thang MQIK có MI=QK

nên MQIK là hình thang cân

Ta có: MN ⊥ AB

=> góc MNA = 90⁰

MP ⊥ AC

=> góc MPA = 90⁰

Xét tứ giác ANMP có:

góc MNA = góc MPA = góc NAP = 90⁰

=> tứ giác ANMP là hình vuông

a: Xét tứ giác ANMP có

\(\widehat{ANM}=\widehat{APM}=\widehat{NAP}=90^0\)

=>ANMP là hình chữ nhật

c: Xét ΔABC có

M là trung điểm của BC

MN//AC

Do đó: N là trung điểm của AB

Xét ΔABC có

M là trung điểm của BC

MP//AB
Do đó: P là trung điểm của AC

Xét ΔABC có

N,P lần lượt là trung điểm của AB,AC

=>NP là đường trung bình của ΔABC

=>NP//BC và NP=BC/2

=>NP//MH

Ta có: ΔHAC vuông tại H

mà HP là đường trung tuyến

nên HP=AP

mà AP=MN(ANMP là hình chữ nhật)

nên HP=MN

Xét tứ giác MHNP có MH//NP
nên MHNP là hình thang

Hình thang MHNP có MN=HP

nên MHNP là hình thang cân

a)BC^2=9^2 + 12^2=225

BC=15 cm

AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên = BC/2

AM=15:2=7,5 cm

b)tứ giác AKMI là hình chữ nhật vì có 3 góc vuông

c)Xét tam giác vuông ABC có:

BM=CM(gt)

MI // AB (tứ giác AKMI là hình chữ nhật)

=> AI = CI (đường trung bình)

Xét tứ giác AMCN có :

MI = NI (gt)

AI = CI (chứng minh trên)

=> tứ giác AMCN là hình bình hành (1)
Mặt khác trong tam giác ABC, AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC

=>AM = BC/2 = CM (2)

từ (1) và (2) => tứ giác AMCN là hình thoi (đpcm)

a: Ta có: ΔABC cân tại A

mà AM là đường trung tuyến

nên AM vừa là đường cao vừa là đường phân giác

Xét ΔAHM vuông tại H và ΔAKM vuông tại K có

AM chung

\(\widehat{HAM}=\widehat{KAM}\)

Do đó: ΔAHM=ΔAKM

Suy ra: MH=MK

b: Ta có: ΔAHK cân tại A

mà AM là đường phân giác

nên AM là đường trung trực của HK

a: Xét tứ giác AHMK có

\(\widehat{AHM}=\widehat{AKM}=\widehat{HAK}=90^0\)

=>AHMK là hình chữ nhật

=>AM=HK

b: Xét ΔABC có

M là trung điểm của BC

MK//AB

Do đó: K là trung điểm của AC

Xét ΔABC có

M là trung điểm của BC

MH//AC

Do đó: H là trung điểm của AB

Xét ΔABC có

M,K lần lượt là trung điểm của CB,CA

=>MK là đường trung bình của ΔABC

=>MK//AB và \(MK=\dfrac{AB}{2}\)

Ta có: MK//AB

H\(\in\)AB

Do đó: MK//HB

Ta có: \(MK=\dfrac{AB}{2}\)

\(AH=HB=\dfrac{AB}{2}\)

Do đó: MK=AH=HB

Xét tứ giác BHKM có

BH//KM

BH=KM

Do đó: BHKM là hình bình hành

c: Gọi O là giao điểm của AM và KH

Ta có: AHMK là hình chữ nhật

=>AM cắt KH tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm của AM và KH

=>\(OA=OM=\dfrac{AM}{2};OK=OH=\dfrac{KH}{2}\)

mà AM=KH

nên OA=OM=OK=OH(1)

Xét ΔAKM có

AF,KO là các đường trung tuyến

AF cắt KO tại D

Do đó: D là trọng tâm của ΔAKM

Xét ΔAKM có

D là trọng tâm

KO là đường trung tuyến

Do đó: \(KD=\dfrac{2}{3}KO\left(2\right)\)

Xét ΔHAM có

AE,HO là các đường trung tuyến

AE cắt HO tại I

Do đó: I là trọng tâm của ΔHAM

Xét ΔHAM có

HO là đường trung tuyến

I là trọng tâm

Do đó: \(HI=\dfrac{2}{3}HO\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra HI=KD