\(h\left(x\right)=x^2-4x+5+m\)

\(g\left(x\right)=\left|h\left(x\right)\right|=\left|f\left(x\right)+m\right|=\left|x^2-4x+5+m\right|\)

\(h\left(0\right)=5+m;h\left(4\right)=5+m;h\left(2\right)=1+m\)

TH1: \(1+m>0\Leftrightarrow m>-1\)

\(max=5+m=9\Leftrightarrow m=4\left(tm\right)\)

TH2: \(5+m< 0\Leftrightarrow m< -5\)

\(max=-1-m=9\Leftrightarrow m=-10\left(tm\right)\)

TH3: \(5+m>0>1+m\Leftrightarrow-5< m< -1\)

Nếu \(5+m< -1-m\Leftrightarrow m< -3\)

\(max=-1-m=9\Leftrightarrow m=-10\left(tm\right)\)

Nếu \(5+m=-1-m\Leftrightarrow m=-3\)

\(max=5+m=2\ne9\)

\(\Rightarrow m=-3\) không thỏa mãn yêu cầu bài toán

Nếu \(5+m>-1-m\Leftrightarrow m>-3\)

\(max=5+m=9\Leftrightarrow m=4\left(tm\right)\)

Vậy \(m=4;m=-10\)

\(g'\left(x\right)=0\Rightarrow x=0\)

Ta thấy \(g\left(x\right)\) đồng biến trên \(\left(0;+\infty\right)\)

\(\Rightarrow g\left(f\left(x\right)\right)\) đồng biến khi \(f\left(x\right)\ge0\)

\(\Rightarrow g\left(f\left(x\right)\right)\) đồng biến trên \(\left(3;+\infty\right)\) khi \(f\left(x\right)\ge0\) ; \(\forall x>3\)

\(\Leftrightarrow x^2-4x\ge-m\) ; \(\forall x>3\)

\(\Leftrightarrow-m\le\min\limits_{x>3}\left(x^2-4x\right)\)

\(\Rightarrow-m\le-3\Rightarrow m\ge3\)

\(y=\left(x+2\right)\left(3-x\right)\)

\(=3x-x^2+6-2x\)

\(=-x^2+x+6\)

=>y'=-2x+1

Đặt y'=0

=>-2x+1=0

=>-2x=-1

=>\(x=\dfrac{1}{2}\)

\(f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\left(\dfrac{1}{2}+2\right)\left(3-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{5}{2}\cdot\dfrac{5}{2}=\dfrac{25}{4}\)

\(f\left(-2\right)=\left(-2+2\right)\left(3+2\right)=0\)

\(f\left(3\right)=\left(3+2\right)\left(3-3\right)=0\)

=>\(y_{max\left[-2;3\right]}=\dfrac{25}{4}\)

Chọn B

B

a.

\(y=x^2\left(4-2x\right)=x.x.\left(4-2x\right)\le\left(\dfrac{x+x+4-2x}{3}\right)^3=\dfrac{64}{27}\)

\(y_{max}=\dfrac{64}{27}\) khi \(x=4-2x\Rightarrow x=\dfrac{4}{3}\)

b.

\(y=x\left(2-x\right)^2=\dfrac{1}{2}.2x.\left(2-x\right)\left(2-x\right)\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2x+2-x+2-x}{3}\right)^3=\dfrac{32}{27}\)

\(y_{max}=\dfrac{32}{27}\) khi \(2x=2-x\Rightarrow x=\dfrac{2}{3}\)

2.

\(I=\int e^{3x}.3^xdx\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=3^x\\dv=e^{3x}dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=3^xln3dx\\v=\dfrac{1}{3}e^{3x}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=\dfrac{1}{3}e^{3x}.3^x-\dfrac{ln3}{3}\int e^{3x}.3^xdx=\dfrac{1}{3}e^{3x}.3^x-\dfrac{ln3}{3}.I\)

\(\Rightarrow\left(1+\dfrac{ln3}{3}\right)I=\dfrac{1}{3}e^{3x}.3^x\)

\(\Rightarrow I=\dfrac{1}{3+ln3}.e^{3x}.3^x+C\)

1.

\(I=\int\left(2x-1\right)e^{\dfrac{1}{x}}dx=\int2x.e^{\dfrac{1}{x}}dx-\int e^{\dfrac{1}{x}}dx\)

Xét \(J=\int2x.e^{\dfrac{1}{x}}dx\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=e^{\dfrac{1}{x}}\\dv=2xdx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=-\dfrac{e^{\dfrac{1}{x}}}{x^2}dx\\v=x^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow J=x^2.e^{\dfrac{1}{x}}+\int e^{\dfrac{1}{x}}dx\)

\(\Rightarrow I=x^2.e^{\dfrac{1}{x}}+C\)

Để tìm nguyên hàm của hàm số, ta cần xác định giá trị của hàm tại một điểm nào đó.

Trong trường hợp này, ta chọn điểm nhân nguyên tố nhất là 3.

Để tính giá trị của hàm tại điểm 3, ta đặt x=3 vào hàm số:

f ( x )

( 2 x − 1 ) e 1 x

= ( 2 ( 3 ) − 1 ) e 1 ( 3 )

= ( 6 − 1 ) e 1 3

= ( 5 ) e 1 3

f ( x )

e 3 x

= e 3 ( 3 )

= e 3 3

Ta tiến hành tính toán:

f ( 3 )

( 5 ) e 1 3

= 5 e 1 3

f ( 3 )

e 3 3

= e 3 3

Như vậy, giá trị của hàm tại điểm 3 là 5e^3 hoặc e^33, tùy thuộc vào hàm số cụ thể.

Tóm lại, để tìm nguyên hàm của hàm số, ta đã tìm được rằng giá trị của hàm tại điểm 3 là 5e^3 hoặc e^33, tùy thuộc vào hàm số cụ thể.

a) Tập xác định của hàm số đã cho là: \({D_f} = \mathbb{R};\;{D_g} = \mathbb{R}\)

b) Ta có: \(f\left( { - x} \right) = {\left( { - x} \right)^2} = {x^2} = f\left( x \right)\)

Đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^2}\) đối xứng qua trục tung

c) Ta có: \(g\left( { - x} \right) = {\left( { - x} \right)^3} =  - {x^3} =  - g\left( x \right)\)

Đồ thị của hàm số \(y = g\left( x \right) = {x^3}\) đối xứng qua gốc tọa độ