Cho hình chữ nhật ABCD, gọi M là trung điểm của AB. Kẻ MN vuông góc với CD tại N.
a.CM: tứ giác AMND là hình chữ nhật.
b.Gọi O là trung điểm của MN, chứng minh điểm O cũng là trung điểm của AC.
Cho hình chữ nhật ABCD, gọi M là trung điểm của AB. Kẻ MN vuông góc với CD tại N.
a) Chứng minh tứ giác AMND là hình chữ nhật.
b) Gọi O là trung điểm của MN. Chứng minh O cũng là trung điểm của AC
em xin lời giải chi tiết với ạ
a: Xét tứ giác AMND có
\(\widehat{ANM}=\widehat{MAD}=\widehat{ADN}=90^0\)
=>AMND là hình chữ nhật
b: AMND là hình chữ nhật
=>AM=ND
mà \(AM=\dfrac{AB}{2}\) và AB=CD
nên DN=DC/2
=>N là trung điểm của CD
AM=MB=AB/2
CN=ND=CD/2
mà AB=CD
nên AM=MB=CN=ND
Xét tứ giác AMCN có
AM//CN
AM=CN
Do đó: AMCN là hình bình hành
=>AC cắt MN tại trung điểm của mỗi đường
mà O là trung điểm của MN
nên O là trung điểm của AC
Cho hình chữ nhật ABCD.Gọi M là trung điểm của AB.Kẻ MN vuông góc với CD tại N. a) c/m tứ giác AMND là hình chữ nhật b) gọi O là trung điểm của MN c/m O cũng là trung điểm AC
a: Xét tứ giác AMND có
\(\widehat{MND}=\widehat{ADN}=\widehat{DAM}=90^0\)
=>AMND là hình chữ nhật
b: AMND là hình chữ nhật
=>AM=ND
mà \(AM=\dfrac{AB}{2}\)
nên \(ND=\dfrac{AB}{2}\)
mà AB=CD(ABCD là hình chữ nhật)
nên \(ND=\dfrac{CD}{2}\)
=>N là trung điểm của CD
=>NC=ND
AM=ND
ND=NC
Do đó: AM=NC
Xét tứ giác AMCN có
AM//CN
AM=CN
Do đó: AMCN là hình bình hành
=>AC cắt MN tại trung điểm của mỗi đường
mà O là trung điểm của MN
nên O là trung điểm của AC
Bài 4. Cho hình chữ nhật ABCD (AB = 2AD), gọi M là trung điểm của AB. Từ M kẻ MN vuông góc CD tại N
a) Chứng minh tứ giác AMND là hình chữ nhật
b) Gọi K là điểm đối xứng với D qua M. Chứng minh B là trung điểm của KC
c) Gọi I là điểm giao của BD và CM. Biết AB = 2AD. Chứng minh NI = 1/3 BD
a: Xét tứ giác AMND có
\(\widehat{MAD}=\widehat{ADN}=\widehat{MND}=90^0\)
nên AMND là hình chữ nhật
Cho hình chữ nhật ABCD ( AB AD > ), gọi M là trung điểm cạnh AB . Từ M kẻ MN ^ CD tại N . 1) Chứng minh tứ giác AMND là hình chữ nhật. 2) Gọi K là điểm đối xứng của D qua M . a) Tứ giác AKBD là hình gì? Giải thích? b) Chứng minh B là trung điểm của đoạn thẳng KC
1: Xét tứ giác AMND có
\(\widehat{ADN}=\widehat{DAM}=\widehat{MND}=90^0\)
Do đó: AMND là hình chữ nhật
2: Xét tứ giác AKBD có
M là trung điểm của đường chéo KD
M là trung điểm của đường chéo AB
Do đó: AKBD là hình bình hành
Trả lời:
1: Xét tứ giác AMND có
ˆADN=ˆDAM=ˆMND=900ADN^=DAM^=MND^=900
Do đó: AMND là hình chữ nhật
2: Xét tứ giác AKBD có
M là trung điểm của đường chéo KD
M là trung điểm của đường chéo AB
Do đó: AKBD là hình bình hành
Chúc bạn học tốt nhé.
Cho hình chữ nhật ABCD.Gọi M là trung điểm của AB.Kẻ MN vuông gốc với CD tại N.
a) c/m AMND là hình chữ nhật
b) O là trung điểm của MN .C/m O cũng là trung điểm của AC
c) Gọi E,N lần lượt là giao điểm của AN và CM với BD chứng minh
DE=EF=FB
Lời giải:
a. Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $\widehat{A}=\widehat{D}=90^0$
$MN\perp CD$ nên $\widehat{MND}=90^0$
Tứ giác $AMND$ có 3 góc vuông $\widehat{A}=\widehat{D}=\widehat{N}$ nên là hcn.
b.
Hoàn toàn tương tự phần a ta thấy $\widheat{B}=\widehat{C}=\widehat{N}$ nên $BMNC$ là hcn
$\Rightarrow BM=NC$
$AMND$ là hcn nên $AM=DN$
Mà $AM=BM$ nên $AM=NC$
Có $AM\parallel NC$ (do $AB\parallel CD$) và $AM=NC$ nên $AMCN$ là hbh
$\Rightarrow AC, MN$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Mà $O$ là trung điểm $MN$ nên $O$ cũng là trung điểm $AC$.
c.
Vì $AMCN$ là hbh (theo phần b) nên $AN\parallel CM$
$\Rightarrow EN\parallel FC$
$\Rightarrow \frac{DE}{EF}=\frac{DN}{NC}=1$ (theo định lý Talet)
$\Rightarrow DE=EF(1)$
Mặt khác:
$AN\parallel CM$
$\Rightarrow MF\parallel AE$
$\Rightarrow \frac{BF}{EF}=\frac{BM}{MA}=1$ (định lý Talet)
$\Rightarrow BF=EF(2)$
Từ $(1); (2)\Rightarrow DE=EF=BF$
Cho hình chữ nhật ABCD(AB>AD), gọi M là trung điểm cạnh AB. Từ M kẻ MN vuông góc với CD tại N( N thuộc CD)
a, Trên tia DM lấy điểm K sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng DK. Chứng minh tứ giác ADBK là hình bình hành và tam giác AKC cân.
b,Gọi I là trung điểm của AK. Tia phân giác của góc AIM cắt AM tại E, tia phân giác của góc KIM cắt MK ở F. Chứng minh EF song song với BD.
a: Xét tứ giác ADBK có
M là trung điểm chung của AB và DK
=>ADBK là hình bình hành
=>AK=DB
mà DB=AC(ABCD là hình chữ nhật)
nên AK=AC
=>ΔAKC cân tại A
b: Xét ΔIAM có IE là phân giác
nên \(\dfrac{ME}{EA}=\dfrac{IM}{IA}\)
mà IA=IK
nên \(\dfrac{ME}{EA}=\dfrac{IM}{IK}\)
Xét ΔIMK có IF là phân giác
nên \(\dfrac{IM}{IK}=\dfrac{MF}{FK}\)
=>\(\dfrac{ME}{EA}=\dfrac{MF}{FK}\)
Xét ΔMAK có \(\dfrac{ME}{EA}=\dfrac{MF}{FK}\)
nên EF//AK
Ta có: EF//AK
AK//BD(AKBD là hình bình hành)
Do đó: EF//BD
Cho hình chữ nhật ABCD(AB>AD), gọi M là trung điểm cạnh AB. Từ M kẻ MN vuông góc với CD tại N( N thuộc CD)
a, Trên tia DM lấy điểm K sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng DK. Chứng minh tứ giác ADBK là hình bình hành và tam giác AKC cân.
b,Gọi I là trung điểm của AK. Tia phân giác của góc AIM cắt AM tại E, tia phân giác của góc KIM cắt MK ở F. Chứng minh EF song song với BD.
a.
Xét tứ giác ADBK có: hai đường chéo AB và DK cắt nhau tại trung điểm M của mỗi đường
\(\Rightarrow ADBK\) là hình bình hành
Do ABCD là hình chữ nhật \(\Rightarrow AB\perp BC\Rightarrow AB\) là đường cao tam giác ACK
Theo cmt, ADBK là hbh \(\Rightarrow BK=AD\)
Mà \(AD=BC\) (ABCD là hcn)
\(\Rightarrow BK=BC\Rightarrow AB\) là trung tuyến tam giác ACK
\(\Rightarrow AB\) vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên tam giác ACK cân tại A
b.
Do IE là phân giác, áp dụng định lý phân giác trong tam giác IAM:
\(\dfrac{EM}{EA}=\dfrac{IM}{IA}\) (1)
Do IF là phân giác, áp dụng định lý phân giác trong tam giác IMK:
\(\dfrac{FM}{FK}=\dfrac{IM}{IK}\) (2)
Mà I là trung điểm AK \(\Rightarrow IA=IK\) (3)
(1);(2);(3) \(\Rightarrow\dfrac{EM}{EA}=\dfrac{FM}{FK}\Rightarrow EF||AK\) (định lý Talet đảo)
Theo c/m câu a do ADBK là hình bình hành \(\Rightarrow AK||BD\)
\(\Rightarrow EF||BD\)
Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD, gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Gọi E là giao điểm của AN và DM, gọi F là giao điểm của BN và CM.
a/ chứng minh tứ giác AMND, BMNC là hình chữ nhật.
b/ chứng minh tứ giác EMFN là hình thoi.
c/ AC cắt DM, MN, BN lần lượt tại H, O, K. Chứng minh AH=HK=KC,
d/ Chứng minh E, O, F thẳng hàng.