Cho I là trung điểm đoạn thẳng AB, M là điểm tùy ý, H là hình chiếu của M trên AB. Chứng minh rằng:
a, \(\overrightarrow{MI}.\overrightarrow{AB}=\dfrac{1}{2}\left(MB^2-MA^2\right)\)
Cho đoạn thẳng AB có O là trung điểm và cho điểm M tùy ý. Chứng minh rằng:
\(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = {\overrightarrow {MO} ^2} - {\overrightarrow {OA} ^2}\)
Ta có: \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow - \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {OB} \)
\(\Rightarrow {\overrightarrow {MO} ^2} - {\overrightarrow {OA} ^2} = \left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} } \right)\left( {\overrightarrow {MO} - \overrightarrow {OA} } \right) \\= \left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} } \right)\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OB} } \right) = \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} \) (đpcm)
Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, CD, EF. Lấy điểm M tùy ý, chứng minh rằng \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = 4\overrightarrow {MG} \)
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GE} + \overrightarrow {EA} } \right) + \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GE} + \overrightarrow {EB} } \right)\\ + \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GF} + \overrightarrow {FC} } \right) + \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GF} + \overrightarrow {FD} } \right)\end{array}\)
\( = \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {MG} \overrightarrow { + MG} } \right) + 2\left( {\overrightarrow {GE} + \overrightarrow {GF} } \right) \\+ \left( {\overrightarrow {EA} + \overrightarrow {EB} } \right) + \left( {\overrightarrow {FC} + \overrightarrow {FD} } \right)\)
\( = 4\overrightarrow {MG} + 2.\overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 = 4\overrightarrow {MG} \) (đpcm)
Cho hai điểm A và B. Điểm M thỏa mãn điều kiện \(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\left|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\right|\)
Chứng minh rằng \(OM=\dfrac{1}{2}AB\), trong đó O là trung điểm của AB ?
\(\left|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\right|=\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BM}\right|=\left|\overrightarrow{BA}\right|=BA\).
Áp dụng tính chất trung điểm:
\(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\left|2\overrightarrow{MO}\right|=2MO\) (với O là trung điểm của AB).
Suy ra: \(AB=2OM\Rightarrow OM=\dfrac{1}{2}AB\).
Cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng a (a > 0). Điểm M di động sao cho \(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\left|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\right|\). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên AB. Khi đó độ dài lớn nhất của đoạn thẳng MH là?
Gọi N là trung điểm AB
\(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\left|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\right|\)
\(\Leftrightarrow2\left|\overrightarrow{MN}\right|=\left|\overrightarrow{BA}\right|\)
\(\Leftrightarrow MN=\dfrac{a^2}{2}\)
\(\Rightarrow\Delta MAB\) vuông tại M
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\Rightarrow MH^2=HA.HB\le\dfrac{\left(HA+HB\right)^2}{4}=\dfrac{AB^2}{4}=\dfrac{a^2}{4}\)
\(\Rightarrow MH\le\dfrac{a}{2}\)
Cho đoạn thẳng AB có trung điểm I. M là điểm tùy ý không nằm trên đường thẳng AB. Trên MI kéo dài, lấy điểm N sao cho IN = MI
a) CMR: \(\overrightarrow{BN}-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{MB}\)
b) Tìm các điểm D, C sao cho: \(\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NI}=\overrightarrow{ND}\) ; \(\overrightarrow{NM}-\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{NC}\)
Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
a) Với điểm M tùy ý , hãy chứng minh :
\(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}\)
b) Chứng minh rằng :
\(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right|=\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\right|\)
a)
Giả sử: \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\left(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\right)+\left(\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MD}\right)=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}\) (\(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}\) do tứ giác ABCD là hình chữ nhật).
Vậy điều giả sử đúng. Ta có điều phải chứng minh.
b) Theo quy tắc hình bình hành:
\(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right|=\left|\overrightarrow{AC}\right|=AC\).
Áp dụng quy tắc 3 điểm:
\(\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\right|=\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DA}\right|=\left|\overrightarrow{DB}\right|=DB\).
Do tứ giác ABCD là hình chữ nhật nên AC = BD.
Vì vậy: \(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right|=\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\right|\).
Câu 1: cho hình chữ nhật ABCD và I là giao điểm của 2 đường chéo. Tập hợp các điểm M thỏa mãn \(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\left|\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}\right|\) là
A. trung trực của đoạn thẳng AB
B. trung trực của đoạn thẳng AD
C. đường tròn tâm I, bán kính \(\dfrac{AC}{2}\)
D. đường tròn tâm I, bán kính \(\dfrac{AB+BC}{2}\)
Câu 2: cho 2 điểm A, B phân biệt và cố định, với I là trung điểm của AB. Tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức \(\left|2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\left|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}\right|\) là
A. đường trung trực của đoạn thẳng AB
B. đường tròn đường kính AB
C. đường trung trực đoạn thẳng IA
D. đường tròn tâm A, bán kính AB
Cho tam giác đều ABC, AB = 2a. Gọi M là trung điểm của cạnh BC.
a, Chứng minh rằng: \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{0}\)
b, Tính \(\left|\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AC}\right|\) theo a?
c, Tìm vị trí điểm N thỏa mãn: \(3\overrightarrow{NA}+3\overrightarrow{NB}+2\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{0}\)
Có vẻ không đúng.
Giả sử \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{MB}+\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}\right)=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow2\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow M\equiv B\) (Vô lí)
Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo. Với M là điểm tùy ý, chứng minh rằng:
a) \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = 4\overrightarrow {MO} \)
b) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {AC} \)
a) \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = 4\overrightarrow {MO} \)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OD} = 4\overrightarrow {MO} \)
\( \Leftrightarrow 4\overrightarrow {MO} + \left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right) + \left( {\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} } \right) = 4\overrightarrow {MO} \)
\( \Leftrightarrow 4\overrightarrow {MO} + \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 = 4\overrightarrow {MO} \\ \Leftrightarrow 4\overrightarrow {MO} = 4\overrightarrow {MO} \) (luôn đúng)
(vì O là giao điểm 2 đường chéo nên là trung điểm của AB, CD)
b) ABCD là hình bình hành nên ta có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \)
Suy ra \(\)\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AC} \) (đpcm)