ĐKXĐ: \(x^2-2mx+m^2-3m+2>0\)

\(\dfrac{x}{\sqrt{x^2-2mx+m^2-3m+2}}=\sqrt{x^2-2mx+m^2-3m+2}\)

- Với \(x< 0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}VT< 0\\VP>0\end{matrix}\right.\) pt vô nghiệm

- Với \(x\ge0\)

\(\Rightarrow x=x^2-2mx+m^2-3m+2=0\)

\(\Rightarrow x^2-\left(2m+1\right)x+m^2-3m+2=0\) (1)

+ Với \(m^2-3m+2=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=2\end{matrix}\right.\) 

\(m=1\Rightarrow x^2-3x=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=3\end{matrix}\right.\) có 2 nghiệm (ktm)

\(m=2\Rightarrow x^2-5x=0\Rightarrow x=\left\{0;5\right\}\) ktm

+ Với \(m^2-3m+2\ne0\)

\(\Rightarrow\) pt đã cho có nghiệm duy nhất khi \(\left(1\right)\) có đúng 1 nghiệm dương

\(\Rightarrow x_1x_2=m^2-3m+2< 0\)

\(\Rightarrow1< m< 2\)

3.

Phương trình có 2 nghiệm khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}m+1\ne0\\\Delta=m^2-12\left(m+1\right)\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne-1\\\left[{}\begin{matrix}m\ge6+4\sqrt{3}\\m\le6-4\sqrt{3}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) (1)

Khi đó theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{m}{m+1}\\x_1x_2=\dfrac{3}{m+1}\end{matrix}\right.\)

Hai nghiệm cùng lớn hơn -1 \(\Rightarrow-1< x_1\le x_2\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)>0\\\dfrac{x_1+x_2}{2}>-1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1x_2+x_1+x_1+1>0\\x_1+x_2>-2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{m+1}-\dfrac{m}{m+1}+1>0\\-\dfrac{m}{m+1}>-2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{4}{m+1}>0\\\dfrac{m+2}{m+1}>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>-1\\\left[{}\begin{matrix}m>-1\\m< -2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m>-1\)

Kết hợp (1) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}-1< m< 6-4\sqrt{3}\\m\ge6+4\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)

Những bài này đều là dạng toán lớp 10, thi lớp 9 chắc chắn sẽ không gặp phải

1. Có 2 cách giải:

C1: đặt \(f\left(x\right)=x^2+2mx-3m^2\)

\(x_1< 1< x_2\Leftrightarrow1.f\left(1\right)< 0\Leftrightarrow1+2m-3m^2< 0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< -\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

C2: \(\Delta'=4m^2\ge0\) nên pt luôn có 2 nghiệm

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2m\\x_1x_2=-3m^2\end{matrix}\right.\)

\(x_1< 1< x_2\Leftrightarrow\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)< 0\)

\(\Leftrightarrow x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1< 0\)

\(\Leftrightarrow-3m^2+2m+1< 0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< -\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

2.

a. Pt có 2 nghiệm cùng dấu khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=m^2-5m+4\ge0\\x_1x_2=5m-4>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}m\ge4\\m\le1\end{matrix}\right.\\m>\dfrac{4}{5}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ge4\\\dfrac{4}{5}< m\le1\end{matrix}\right.\)

Khi đó \(x_1+x_2=2m>2.\dfrac{4}{5}>0\) nên 2 nghiệm cùng dương

b. Pt có 2 nghiệm cùng dấu khi: \(\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\\Delta=m^2-12m\ge0\\x_1x_2=\dfrac{3}{m}>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}m\ge12\\m\le0\end{matrix}\right.\\m>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m\ge12\)

Khi đó \(x_1+x_2=-1< 0\) nên 2 nghiệm cùng âm

a thay vào mà tính, dễ rồi nên mình ko làm nữa nhé

b, Để phương trình  có 2 nghiệm phân biệt thì delta > 0 

hay \(4m^2-4\left(m-2\right)\left(m-4\right)=4m^2-4\left(m^2-6m+8\right)=6m-8>0\)

\(\Leftrightarrow-8>-6m\Leftrightarrow m>\dfrac{4}{3}\)

c, Theo Vi et ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=\dfrac{2m}{m-4}\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{m-2}{m-4}\end{matrix}\right.\)

Lại có: \(\left(x_1+x_2\right)^2=\dfrac{4m^2}{\left(m-4\right)^2}\Rightarrow x_1^2+x_2^2=\dfrac{4m^2}{\left(m-4\right)^2}-2x_1x_2\)

\(=\dfrac{4m^2}{\left(m-4\right)^2}-\dfrac{2m-4}{m-4}=\dfrac{4m^2-\left(2m-4\right)\left(m-4\right)}{\left(m-4\right)^2}\)

\(=\dfrac{4m^2-2m^2+12m-16}{\left(m-4\right)^2}=\dfrac{2m^2+12m-16}{\left(m-4\right)^2}\)

a: Khi x=2 thì pt sẽlà 2^2-4m+3m-4=0

=>-m=0

=>m=0

c: Để PT có hai nghiệm tráo dấu thì 3m-4<0

=>m<4/3

d: Δ=(-2m)^2-4(3m-4)

=4m^2-12m+16

=(2m-3)^2+7>=7

=>Phương trình luôn có hai nghiệm pb

Để PT có 2 nghiệm dương thì 2m>0 và 3m-4>0

=>m>4/3

ĐK:`x_1,x_2 ne 0=>x_1.x_2 ne 0`

`=>-2m-1 ne 0=>m ne -1/2`

Ta có:`a=1,b=2m,c=-2m-1`

`=>a+b+c=1+2m-2m-1=0`

`<=>` \(\left[ \begin{array}{l}x=1\\x=-2m-1\end{array} \right.\) 

PT có 2 nghiệm pn

`=>-2m-1 ne 1`

`=>-2m ne 2`

`=>m ne -1`

Nếu `x_1=1,x_2=-2m-1`

`pt<=>6=1+1/(-2m-1)`

`<=>5=1/(-2m-1)`

`<=>2m+1=-1/5`

`<=>2m=-6/5`

`<=>m=-3/5(tm)`

Nếu `x_2=1,x_1=-2m-1`

`pt<=>6/(-2m-1)=-2m-1+1=-2m`

`<=>6/(2m+1)=2m`

`<=>3/(2m+1)=m`

`<=>2m^2+m-3=0`

`a+b+c=0`

`=>m_1=1(tm),m_2=-c/a=-3/2(tm)`

Vậy `m in {-3/5,1,-3/2}` thì ....

Phương trình có 2 nghiệm khi \(\Delta'=m^2-4\ge0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ge2\\m\le-2\end{matrix}\right.\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2m\\x_1x_2=4\end{matrix}\right.\)

\(\left(\dfrac{x_1}{x_2}\right)^2+\left(\dfrac{x_2}{x_1}\right)^2=3\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}\right)^2-2=3\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}\right)^2=5\)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2}{4}\right)^2=5\)

\(\Rightarrow\left(m^2-2\right)^2=5\)

\(\Rightarrow m^2=2+\sqrt{5}\)

\(\Rightarrow m=\pm\sqrt{2+\sqrt{5}}\)

a) thay m=5 vào pt (1) dc

\(\left(5-4\right)x^2-2.5x+5-2=0\)

<=>\(x^2-10x+3=0\)

<=>\(\left(x-5-\sqrt{22}\right)\left(x-5+\sqrt{22}\right)=0\)

<=>\(\left[{}\begin{matrix}x=5+\sqrt{22}\\x=5-\sqrt{22}\end{matrix}\right.\)

b)Thay x=-1 vào pt (1) dc

\(\left(m-4\right)\left(-1\right)^2-2m\left(-1\right)+m-2=0\)

<=>\(m-4+2m+m-2=0\)

<=>\(4m=6\)

<=>m=\(\dfrac{3}{2}\)

Pt có nghiệm nên

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{2m}{m-4}\left(2\right)\\x_1.x_2=\dfrac{m-2}{m-4}\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

Thay m=\(\dfrac{3}{2}\)và x=-1 vào pt (2) ta dc

\(-1+x=\dfrac{2.\dfrac{3}{2}}{\dfrac{3}{2}-4}=-\dfrac{6}{5}\)

=>x=\(-\dfrac{1}{5}\)

c)\(\Delta'=\left[-\left(m\right)\right]^2-\left(m-4\right)\left(m-2\right)=m^2-\left(m^2-6m+8\right)=6m-8\)

pt có nghiệm kép <=>\(\Delta'=0\)

                             <=>\(6m-8=0< =>m=\dfrac{4}{3}\)

\(\left(x-\dfrac{2}{x}\right)^2-4\left(x-\dfrac{2}{x}\right)+m+3=0\)

Đặt \(x-\dfrac{2}{x}=t\) (1)

\(\Rightarrow t^2-4t+3+m=0\) (2) \(\Leftrightarrow t^2-4t+3=-m\)

Xét (1) \(\Leftrightarrow x^2-t.x-2=0\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=t\\x_1x_2=-2\end{matrix}\right.\)

Do \(-2< 0\) nên nếu (1) có nghiệm nó sẽ luôn có 2 nghiệm trái dấu, do đó pt đã cho có tối đa 2 nghiệm dương

\(f\left(1\right)=-t-1=0\Rightarrow t=-1\)

\(\Rightarrow\) Bài toán thỏa mãn khi \(\left(2\right)\) có 2 nghiệm pb thỏa mãn \(t_1>t_2>-1\) 

Xét hàm \(f\left(t\right)=t^2-4t+3\) với \(t>-1\)

\(f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)=f\left(2\right)=-1\) ; \(f\left(-1\right)=8\)

\(\Rightarrow\) \(-1< -m< 8\Leftrightarrow-8< m< 1\)