\(a,\) Gọi \(A\left(x_0;y_0\right)\) là điểm cố định mà (d) đi qua với mọi m

\(\Leftrightarrow y_0=\left(m+2\right)x_0+m\\ \Leftrightarrow mx_0+m+2x_0-y=0\\ \Leftrightarrow m\left(x_0+1\right)+\left(2x_0-y_0\right)=0\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0+1=0\\2x_0-y_0=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=-1\\y_0=-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow A\left(-1;-2\right)\)

Vậy \(A\left(-1;-2\right)\) là điểm cố định mà (d) đi qua với mọi m

\(b,\) PT giao Ox tại A và Oy tại B: \(\left\{{}\begin{matrix}y=0\Rightarrow\left(m+2\right)x=-m\Rightarrow x=-\dfrac{m}{m+2}\Rightarrow A\left(-\dfrac{m}{m+2};0\right)\Rightarrow OA=\left|-\dfrac{m}{m+2}\right|\\x=0\Rightarrow y=m\Rightarrow B\left(0;m\right)\Rightarrow OB=\left|m\right|\end{matrix}\right.\)

\(S_{OAB}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}OA\cdot OB=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow\left|-\dfrac{m}{m+2}\right|\left|m\right|=1\\ \Leftrightarrow\left|-\dfrac{m^2}{m+2}\right|=1\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-\dfrac{m^2}{m+2}=1\\\dfrac{m^2}{m+2}=1\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-m^2=m+2\\m^2=m+2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m^2+m+2=0\left(vô.n_0\right)\\m^2-m-2=0\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=-1\end{matrix}\right.\)

Vậy ...

a: Để (d) cắt (d') tại một điểm nằm trên trục tung thì

\(\left\{{}\begin{matrix}-2m+1< >2\\-m+1=m+3\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}-2m< >1\\-m-m=3-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< >-\dfrac{1}{2}\\-2m=2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}m=-1\\m< >-\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=-1\)

b: (d): \(y=-\left(2m-1\right)x-m+1\)

\(=-2mx+x-m+1\)

\(=m\left(-2x-1\right)+x+1\)

Tọa độ điểm cố định mà (d) luôn đi qua là:

\(\left\{{}\begin{matrix}-2x-1=0\\y=x+1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2x=1\\y=x+1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{1}{2}\\y=-\dfrac{1}{2}+1=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

c: Tọa độ A là:

\(\left\{{}\begin{matrix}y=0\\-\left(2m-1\right)x-m+1=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=0\\\left(-2m+1\right)x=m-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=0\\x=\dfrac{m-1}{-2m+1}\end{matrix}\right.\)

=>\(A\left(\dfrac{m-1}{-2m+1};0\right)\)

\(OA=\sqrt{\left(\dfrac{m-1}{-2m+1}-0\right)^2+\left(0-0\right)^2}=\sqrt{\left(\dfrac{m-1}{2m-1}\right)^2}=\dfrac{\left|m-1\right|}{\left|2m-1\right|}\)

Tọa độ B là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=-\left(2m-1\right)\cdot x-m+1=-\left(2m-1\right)\cdot0-m+1=-m+1\end{matrix}\right.\)

vậy: B(0;-m+1)

\(OB=\sqrt{\left(0-0\right)^2+\left(-m+1-0\right)^2}=\sqrt{\left(-m+1\right)^2}\)

\(=\left|m-1\right|\)

Vì ΔOAB vuông tại O nên \(S_{OAB}=\dfrac{1}{2}\cdot OA\cdot OB\)

\(=\dfrac{1}{2}\cdot\left|m-1\right|\cdot\dfrac{\left|m-1\right|}{\left|2m-1\right|}\)

\(=\dfrac{\dfrac{1}{2}\left(m-1\right)^2}{\left|2m-1\right|}\)

Để \(S_{AOB}=1\) thì \(\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\left(m-1\right)^2}{\left|2m-1\right|}=1\)

=>\(\dfrac{\left(m-1\right)^2}{\left|2m-1\right|}=2\)

=>\(\left(m-1\right)^2=2\left|2m-1\right|\)(1)

TH1: m>1/2

Phương trình (1) sẽ tương đương với \(\left(m-1\right)^2=2\left(2m-1\right)\)

=>\(m^2-2m+1=4m-2\)

=>\(m^2-6m+3=0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}m=3+\sqrt{6}\left(nhận\right)\\m=3-\sqrt{6}\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)

TH2: m<1/2

Phương trình (2) sẽ tương đương với:

\(\left(m-1\right)^2=2\left(-2m+1\right)\)

=>\(m^2-2m+1=-4m+2\)

=>\(m^2-2m+1+4m-2=0\)

=>\(m^2+2m-1=0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}m=-1+\sqrt{2}\left(nhận\right)\\m=-1-\sqrt{2}\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)

Bài 3 làm sao v ạ?

a: Điểm mà (d) luôn đi qua là:

x=0 và y=m*0-3=-3

b: góc BAO=60 độ

=>góc tạo bởi (d) với trục Ox bằng60 độ

=>\(m=tan60=\sqrt{3}\)

c: y=mx-3

=>mx-y-3=0

\(d\left(O;d\right)=\dfrac{\left|0\cdot m+0\cdot\left(-1\right)-3\right|}{\sqrt{m^2+1}}=\dfrac{3}{\sqrt{m^2+1}}\)

Để d lớn nhất thì m^2+1 nhỏ nhất

=>m=0

a: Để (d) cắt (d1) tại một điểm trên trục tung thì

\(\left\{{}\begin{matrix}m-2\ne2\\-2m+1=m+2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}m\ne4\\-3m=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=-\dfrac{1}{3}\)

b: Tọa độ giao điểm của d1 và d2 là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+2=4-3x\\y=x+2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x=2\\y=x+2\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{2}\\y=\dfrac{1}{2}+2=\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\)

Thay x=1/2 và y=5/2 vào (d), ta được:

\(\dfrac{1}{2}\left(m-2\right)+2+m=\dfrac{5}{2}\)

=>\(\dfrac{1}{2}m-1+m+2=\dfrac{5}{2}\)

=>\(\dfrac{3}{2}m=\dfrac{3}{2}\)

=>m=1

c: (d): y=(m-2)x+m+2

=mx-2x+m+2

=m(x+1)-2x+2

Tọa độ điểm cố định mà (d) luôn đi qua là:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+1=0\\y=-2x+2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\y=-2\cdot\left(-1\right)+2=4\end{matrix}\right.\)

a) \(y=\left(1-m\right)x+m+2\left(d\right)\)

\(y=2x-1\left(d'\right)\)

\(\left(d\right)//\left(d'\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-m=2\\m+2\ne-1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=-1\\m\ne-3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow m=-1\)

Vậy với \(m=-1\) để \(\left(d\right)//\left(d'\right)\)

b) \(\left(d\right)\cap\left(Ox\right)=A\left(x;0\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(1-m\right)x+m+2=0\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{m-1}{m+2}\)

\(\Rightarrow A\left(\dfrac{m-1}{m+2};0\right)\)

\(\Rightarrow OA=\sqrt[]{\left(\dfrac{m-1}{m+2}\right)^2}=\left|\dfrac{m-1}{m+2}\right|\)

\(\left(d\right)\cap\left(Oy\right)=B\left(0;y\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(1-m\right).0+m+2=y\)

\(\Leftrightarrow y=m+2\)

\(\Rightarrow B\left(0;m+2\right)\)

\(\Rightarrow OB=\sqrt[]{\left(m+2\right)^2}=\left|m+2\right|\)

Để \(\Delta OAB\) là \(\Delta\) vuông cân khi và chỉ khi

\(\left|\dfrac{m-1}{m+2}\right|=\left|m+2\right|\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\dfrac{m-1}{m+2}=m+2\\\dfrac{m-1}{m+2}=-\left(m+2\right)\end{matrix}\right.\) \(\left(m\ne-2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left(m+2\right)^2=m-1\\\left(m+2\right)^2=1-m\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m^2+2m+4=m-1\\m^2+2m+4=1-m\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m^2+m+5=0\left(1\right)\\m^2+3m+3=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Giải \(pt\left(1\right):\Delta=1-20=-19< 0\)

\(\Rightarrow\left(1\right)\) vô nghiệm

Giải \(pt\left(2\right):\Delta=9-12=-3< 0\)

\(\Rightarrow\left(2\right)\) vô nghiệm

Vậy không có giá trị nào của \(m\) thỏa mãn đề bài

Giả sử đường thẳng d luôn đi qua điểm cố định  \(I\left(x_0;y_0\right)\) \(\Rightarrow\) với mọi m ta luôn có:

\(y_0=\left(m+1\right)x_0-m+2\)

\(\Leftrightarrow m\left(x_0-1\right)+x_0-y_0+2=0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0-1=0\\x_0-y_0+2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_0=1\\y_0=3\end{matrix}\right.\)

Vậy  \(I\left(1;3\right)\)