a) Từ đồ thị ta thấy hàm số xác định trên [-3;7]

+) Trên khoảng (-3; 1): đồ thị có dạng đi lên từ trái sang phải nên hàm số này đồng biến trên khoảng (-3; 1).

+) Trên khoảng (1; 3): đồ thị có dạng đi xuống từ trái sang phải nên hàm số này nghịch biến trên khoảng (1; 3).

+) Trên khoảng (3; 7): đồ thị có dạng đi lên từ trái sang phải nên hàm số này đồng biến trên khoảng (3; 7).

b) Xét hàm số \(y = 5{x^2}\) trên khoảng (2; 5).

Lấy \({x_1},{x_2} \in (2;5)\) là hai số tùy ý sao cho \({x_1} < {x_2}\).

Do \({x_1},{x_2} \in (2;5)\) và \({x_1} < {x_2}\) nên \(0 < {x_1} < {x_2}\), suy ra \({x_1}^2 < {x_2}^2\) hay \(5{x_1}^2 < 5{x_2}^2\)

Từ đây suy ra \(f({x_1}) < f({x_2})\)

Vậy hàm số đồng biến (tăng) trên khoảng (2; 5).

a) Xét hàm số \(y =  - 5x + 2\) xác định trên \(\mathbb{R}\)

Lấy \({x_1},{x_2} \in \mathbb{R}\) là hai số tùy ý sao cho \({x_1} < {x_2}\).

Do  \({x_1} < {x_2}\) nên \( - 5{x_1} >  - 5{x_2}\), suy ra \( - 5{x_1} + 2 >  - 5{x_2} + 2\)

Từ đây ta có \(f({x_1}) > f({x_2})\)

Vậy hàm số ngịch biến (giảm) trên \(\mathbb{R}\)

b) Xét hàm số \(y = f(x) =  - {x^2}\) xác định trên \(\mathbb{R}\)

+ Trên khoảng \((0; + \infty )\) lấy \({x_1},{x_2} \in \mathbb{R}\) là hai số tùy ý sao cho \({x_1} < {x_2}\)., ta có: \(f({x_1}) - f({x_2}) =  - {x_1}^2 + {x_2}^2 = \left( {{x_2} - {x_1}} \right)({x_2} + {x_1})\)

Do  \({x_1} < {x_2}\) nên \( {x_2} - {x_1} > 0\) và do \({x_1},{x_2} \in (0; + \infty )\) nên \({x_1} + {x_2} > 0\).

Từ đây suy ra \(f({x_1}) - f({x_2}) > 0\) hay \(f({x_1}) > f({x_2})\)

Vậy hàm số nghịch biến (giảm) trên khoảng \((0; + \infty )\)

+ Trên khoảng \(( - \infty ;0)\) lấy \({x_1},{x_2} \in \mathbb{R}\) là hai số tùy ý sao cho \({x_1} < {x_2}\)., ta có: \(f({x_1}) - f({x_2}) =  - {x_1}^2 + {x_2}^2 = \left( {{x_2} - {x_1}} \right)({x_2} + {x_1})\)

Do  \({x_1} < {x_2}\) nên \( {x_2} - {x_1} > 0\) và do \({x_1},{x_2} \in ( - \infty ;0)\) nên \({x_1} + {x_2} < 0\).

Từ đây suy ra \(f({x_1}) - f({x_2}) < 0\) hay \(f({x_1}) < f({x_2})\)

Vậy hàm số đồng biến (tăng) trên khoảng \(( - \infty ;0)\)

- Điều kiện đồng biến, nghịch biến của hàm số:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

+ f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu f’(x) > 0 với ∀ x ∈ K.

+ f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu f’(x) < 0 với ∀ x ∈ K.

- Xét hàm số

+ Hàm số đồng biến

+ Hàm số nghịch biến

Vậy hàm số đồng biến trên 

nghịch biến trên các khoảng  và (1; +∞)

- Xét hàm số 

Ta có: D = R \ {1}

 ∀ x ∈ D.

⇒ Hàm số nghịch biến trên từng khoảng (-∞; 1) và (1; +∞).

a: y'=3x^2-3*2x=3x^2-6x=3x(x-2)

y'>0 khi x(x-2)>0

=>x>2 hoặc x<0

=>Khi x>2 hoặc x<0 thì hàm số đồng biến

y'<0 khi x(x-2)<0

=>0<x<2

=>Khi 0<x<2 thì hàm số nghịch biến

b: y'=-3x^2+3

y'>0 khi -3x^2+3>0

=>-3x^2>-3

=>x^2<1

=>-1<x<1

Khi -1<x<1 thì hàm số đồng biến

y'<0 khi x^2>1

=>x>1 hoặc x<-1

Vậy: Khi x>1 hoặc x<-1 thì hàm số nghịch biến

Tọa độ đỉnh là I(1;1)

mà a=1>0

nên hàm số đồng biến khi \(x\in\left(1;+\infty\right)\) và nghịch biến khi \(x\in\left(-\infty;1\right)\)

Đáp án D

Khẳng định số II sai.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng  - ∞ ; - 2